武汉大学数值分析期末考试(05-11年)

武 汉 大 学

2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题

科目名称：数值分析 学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）设求方程 12 3x+2cosx=0 根的迭代法

2

xk+1=4+cosxk

3(1) 证明对 x0∈R,均有limxk=x*,其中x*为方程的根.

k→∞

(2) 取x0=4，求方程的近似根，使误差|xk+1 xk|≤10 2，并列出各次迭代值. (3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.

二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。

x1+2x2 2x3=1,

x1+x2+x3= 1,

2x+2x+x=0.

23 1

2aa0

三、（8分）若矩阵A= 0a0 ，说明对任意实数a≠0，方程组AX=b都是

00a 非病态的（范数用∞）

四、（15求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)=f(x) H3(x)。 五

、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x（℃）的试验数据为

已知经验公式的形式为 y=ax+bx2 ，试用最小二乘法求出 a，b。 六、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分

I(a,b)=∫ax+b xdx

11

[

2

]

2

取得最小值。

七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式Ln(x)有递推关系式：

L1(x)=x L0(x)=1,

2n+1n

xLn(x) Ln 1(x) Ln+1(x)=n1n1++

(n=1,2, )

试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式

∫

1

1

f(x)dx≈A1f(x1)+A2f(x2)+A3f(x3)

的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分

I=∫edx

12

1

x

dy

=f(x,y)

八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 dx 的单步法：

y(x0)=y0

11

yyh(kk2)=++n1 n+1

22

k1=f(xn,yn)

k=f(x+h,y+hk)

nn1

2

（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。

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2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）

科目名称：数值分析 学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。

x1+2x2 2x3=1,

x1+x2+x3= 1, 2x+2x+x=0.

23 1

二、（15分）设求方程 12 3x+2cosx=0 根的迭代法 2

xk+1=4+cosxk

3(1) 证明对 x0∈R,均有limxk=x*,其中x*为方程的根.

k→∞

(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.

2aa0

三、（8分）若矩阵A= 0a0 ，说明对任意实数a≠0，方程组AX=b都是

00a 非病态的。（范数用∞）

四、（15求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)=f(x) H3(x)。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x（℃）的试验数据为

已知经验公式的形式为 y=ax+bx2 ，试用最小二乘法求出 a，b。

六、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分

I(a,b)=∫ax+b xdx

11

[

2

]

2

取得最小值。

七、（14分）对于求积公式：∫ρ(x)f(x)dx≈∑Akf(xk),其中：ρ(x)是区间(a,b)

b

n

a

k=1

上的权函数。

（1） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; （2） 若此公式为Gauss型求积公式，试证明

∑n

A

b

k

=k=1

∫a

ρ(x)dx

dy

八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 dx=f(x,y)

y(x0)=y0

y1n+1

=yn+h(k11+k2)

22

k 1=f(xn,yn)

k2=f(xn+h,yn+hk1

)

（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。

的单步法：

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2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题

（A卷）

科目名称：数值分析 学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（12分）设方程组Ax=b为

21 x1 7 3 11 = x

2

（1） 用Doolittle分解法求解方程组； （2） 求矩阵A的条件数Cond(A)∞

二、（12分）设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为λ1≤λ2≤ ≤λn，为求解方程组Ax=b，建立迭代格式 x(k+1)=x(k)+ω(b Ax(k))，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。

三、（12分）已知数据

试用二次多项式p(x)=ax2

+bx+c拟合这些数据。

四、（14分）已知 y=f(x) 的数据如下：

（1）求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)；

（2）为求∫f(x)dx的值，采用算法：∫f(x)dx=∫H3(x)dx+R

1

1

1

3

3

3

试导出截断误差R

五、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分

I(a,b)=∫(ax+b e)dx

01

x2

取得最小值。

六、（12）确定常数Ai，使求积公式

∫

20

f(x)dx≈A1f(0)+A2f(1)+A3f(2)

的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、（12分）设 (x)导数连续，迭代格式xk+1= (xk)一阶局部收敛到点x*。对于常数λ，构造新的迭代格式：

1

(xk)

1+λ1+λ

问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。 xk+1=

xk+

dy

=f(t,y)

的单步法： 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 dt

y(t0)=y0

λ

yn+1=yn+hk2

k1=f(tn,yn)

11 k2=f(tn+h,yn+hk1)

22

（1） 验证它是二阶方法；

（2） 确定此单步法的绝对稳定区域。

武 汉 大 学

2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）

科目名称：数值分析 学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。

x1+2x2 2x3=1,

x1+x2+x3= 1, 2x+2x+x=0.

23 1

2aa0

二、（8分）若矩阵A= 0a0 ，说明对任意实数a≠0，方程组AX=b都是

00a 非病态的。（范数用∞）

三、（15分）设 (x)导数连续，迭代格式xk+1= (xk)一阶局部收敛到点x*。构造新的迭代格式：

xk+1=λxk+µ (xk)

问如何选取常数λ及µ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。

四、（15求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)=f(x) H3(x)。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x（℃）的试验数据为

已知经验公式的形式为 y=ax+bx2 ，试用最小二乘法求出 a，b。 六、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分

I(a,b)=∫ax+b xdx

11

[

2

]

2

取得最小值。

七、（14分）对于求积公式：∫ρ(x)f(x)dx≈∑Akf(xk),其中：ρ(x)是区间(a,b)

a

k=1

b

n

上的权函数。

（1） 证明此求积公 …… 此处隐藏：5327字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……