线性代数湘潭大学朱砾版5-2-1

第二节 相似矩阵 (内积与正交)

一、向量的内积定义1 设有n 维向量 x1 y1 x2 y2 x , y , x y n n 令 x , y x , y x1 y1 x2 y2 xn yn x T y称 x , y 为向量 x 与 y 的 内积 .

说明

1 n n 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义.2 内积是向量的一种运算, 如果x , y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :

x, y xT y.

内积的运算性质

其中 x , y, z 为n维向量, 为实数 : (1) x , y y , x ;( 2) ( 3)

x , y x , y ; x y, z x , z y, z ;

(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.

向量的长度及性质定义2.2 令

x

x, x

2 2 2 x1 x2 xn ,

称 x 为 n 维向量 x的 长度 或 范数 .

向量的长度具有下述性质：

1. 非负性 2. 齐次性

当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;

x x ;x y x y.

3. 三角不等式

4. Cauchy Schwarz不等式 x , y 2 x , x y , y || x ||2 || y ||2 | x , y | || x || || y ||

单位向量及n维向量间的夹角

1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 . x, y 2 当 x 0, y 0时, arccosx y

称为n维向量x与y的夹角 . 0 .当x 0时, 则x / || x || 是单位向量 称之为x的单位化 , .

例 求向量 1,2,2,3 与 3,1,5,1 的夹角.

18 2 解 cos 3 2 6 2 . 4

正交向量组1 正交的概念当[ x , y ] 0时, 称向量x与y 正交.

由定义知, 若 x 0, 则 x 与任何向量都正交.

2 正交向量组的概念

若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组.

3 正交向量组的性质定理2.1 若n维向量 1 , 2 , , r 是一组两两正交 的非零向量, 1 , 2 , , r 线性无关. 则

证明 设有 1 , 2 , , r 使 1 1 2 2 r 0

1 1T 1 0 以 a 左乘上式两端, 得T 1

由 1 0 1 1 1T

2

0, 从而有 1 0 .

同理可得 2 r 0. 故 1 , 2 , , r 线性无关.

4 向量空间的正交基 若 1 , 2 , , r 是 向量 空间 的 一个 基 且 1 , 2 , V , , r 是 两两 正交 的 非零 向量 , 则 称 1 , 2 , , r 是 组 向 量空 间 的 正交 基 V .

例1 已知三维向量空间中两个向量 1 1 1 1 , 2 2 1 1 正交，试求 3 使 1 , 2 , 3 构成三维空间

的一个正交 基.

解 设 3 x1 , x 2 , x 3 T 0, 且分别与 1 , 2正交 . 则有[ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0

即 解之得

[ 1 , 3 ] x1 x 2 x 3 0 [ 2 , 3 ] x1 2 x 2 x 3 0

x1 x3 , x2 0. x1 1 3 x2 0 若令 x3 1, 则有 x 1 3

由上可知 1 , 2 , 3构成三维空间的一个正交基.

5 规范正交基定义3 设n维向量 e1 , e2 , , er 是向量空间 V (V R )的一个基, 如果e1 , e2 , , er两两正交且都是单位 向量, 则称e1 , e2 , , er 是 V的一个规范正交基.n

例如

1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e 2 0 , e 3 1 2 , e4 1 2 . 0 1 2 1 2 0 0

1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e 2 0 , e 3 1 2 , e4 1 2 . 0 1 2 1 2 0 0

[e i , e j ] 0, i j且i , j 1,2,3,4. 由于 [e i , e j ] 1, i j且i , j 1,2,3,4.所以 e1 , e 2 , e 3 , e4为R 4的一个规范正交基 .

同理可知

1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 2 , 3 , 4 . 0 0 1 0 0 0 0 1 也为R 4的一个规范正交基.

6 求规范正交基的方法设 1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基, 要求V 的一个规范正交基, 就是要找一组两两正交的单 位向量e1 , e 2 , , e r , 使e1 , e 2 , , e r 与 1 , 2 , , r 等 价, 这样一个问题, 称为 把 1 , 2 , , r 这个基规

范正交化 . 若a1 , a 2 , , a r 为向量空间V的一个基, (1)正交化，取 b1 a1 , b1 , a2 b2 a2 b1 , b1 , b1

[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]

[b1 , a r ] [b2 , a r ] [br 1 , a r ] br a r b1 b2 br 1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]那么b1 , , br 两两正交, 且b1 , , br 与a1 , a r 等价.

(2)单位化，取

b1 b2 br e1 , e2 , , er , b1 b2 br那么 e1 , e 2 , , e r 为V的一个规范正交基 .