“设而不求”解法技巧应用

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“设而不求”解法技巧应用

山东省曲阜市第一中学（273100），张宪彬

二次曲线是高中数学的重点内容，高考试题一般涉及量较多，近几年计算量虽略有减少，但仍需注意选择适当的方法以简化运算.本文通过以下例题，介绍一下“设而不求”的技巧.

例1 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两

点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.

思路 利用“OP⊥OQ”求出m，问题可解.

解 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

x+2y-3=0 (1)

x2+y2+x-6y+m=0 (2)

消去x,得

5y2-20y+12+m=0

y1+y2=4 (3)

12 my1y2= (4) 5

∵OP⊥OQ∴x1x2+y1y2=0(5)

而x1x2=(3-2y1)(3-2y2)

=9-6(y1+y2)+4y1y2

(6)

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由(3),(4),(5),(6),得 m=3 此时△>0.

5∴圆心坐标（5，3），半径r=. 2

小结 在解答中，我们采用了“设而不求”的解法技巧，并运用了有关向量垂直的充要条件，最终应用了韦达定理来求m.另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.

x2y2

例2 过点P（2，1）引直线与椭圆=1相交于169

M，N两点，若P点恰好是线段M，N的中点，求直线MN的方程.

思路 此题的关键是求直线MN的斜率.

解 设M(x1,y1),N(x2,y2),则

2x169

22xy 1(2)169

(1)-(2),得

2222x1 x2y1 y2 0 169 2y 1(1)

整理，得

y

1 y2y1 y29. (3) x1 x2x1 x216

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x1 x2y1 y2其中， 2 ， 1 22

y1 y229 . x1 x2416

9即直线MN的斜率为k= 8

9从而直线MN的方程为y-1= (x-2) 8

即9x+8y-26=0.

小结 此题用到了点差法，是一个技巧，继而可以运用中点坐标公式与斜率公式，思路豁然开朗.

2y例3 给定双曲线x2 -=1，过2A（2，1）的直线l

与所给双曲线交于两点P1，P2，试求线段P1P2的中点P的轨迹方程.

思路 运用“设而不求”的技巧，可表示出线段P1P2的斜率，它又可以用P，A两点的坐标表示，问题迎刃而解.

解 设P1（x1，x2），P2（x2，y2），P（x，y），则

2y2x1-1=1 (1) 2

2y2x2-2=1 (2) 2

（1）-（2），得

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1 （x1+x2）（x1-x2）- （y1+y2）（y1-y2）=0， 2

其中，x1+x2 =4x，y1+y2 =2y

1 2x（x1-x2）- （y1-y2）2y=0 2

y1 y22x (3) ∴x1 x2y

∵P，A两点在直线ｌ上， y 1∴直线ｌ的斜率是ｋ＝ （４） x 2

∴由（3），（4），得

2xy 1 yx 2

整理，得

2x-y-4x+y=0.

这就是线段P1P2的中点P的轨迹方程.

小结 掌握斜率的概念，是解决此题的关键.

例4 抛物线C：y=x上有异于顶点的P，Q两点，且OP⊥OQ，

求证直线PQ过定点.

思路 求出直线PQ的方程.

证明 设P（x1，y1），Q（x2，y2） ，设直线PQ的方程为y=kx+b（1）

与y=x（2）联立，得 2222

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by1y2= ，（3） k

b2

x1x2=2 （4） k

∵OP⊥OQ

∴x1x2+ y1y2 =0 （5）

由（3），（4），（5），得 k=-b

从而直线PQ的方程为

y=kx-k=k（x-1）

∴ 过定点（1，0）.

当直线PQ的斜率不存在时，易知也过定点（1，0）. 以上几例，运用“设而不求”的技巧，注意了运算的合理性，目的性，同时用到了韦达定理，中点坐标公式，向量垂直的充要条件等，使思路更加清晰，运算得以简化.