高中数学典型例题解析：第四章 数列

数列

第四章 数§4.1等差数列的通项与求和

一、知识导学

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项， ，第n项， .

3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝

a ba b

．我们把Ａ＝22

叫做ａ和ｂ的等差中项．

二、疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3， ，n｝)的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

S1

3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：an

Sn Sn 1

an(n>2),则an不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.

(n 1),(n 2).

若a1适合

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为

Sn

d2ddd

n (a1 )n，若令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2+Bn.2222

6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[例1]已知数列1，4，7，10， ，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+ +（3n－5）是该数列的前几项之和.

数列

错解：（1）an=3n+7;

(2) 1+4+ +（3n－5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=10 1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n－2;

(2) 1+4+ +（3n－5）是该数列的前n－1项的和.

[例2] 已知数列 an 的前n项之和为① Sn 2n2 n ② Sn n2 n 1 求数列 an 的通项公式。

错解： ① an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3 ② an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.正解： ①当n 1时，a1 S1 1

当n 2时，an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3 经检验 n 1时 a1 1 也适合， an 4n 3 ②当n 1时，a1 S1 3

当n 2时，an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n ∴ an

(n 1) 3

2n(n 2)

[例3] 已知等差数列 an 的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于错解：S30= S10·2d. d＝30， S40= S30+d =100.

错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.

10 9 10a d 10 22 12

正解：由题意： 得a1 ,d

515 30a 30 29d 70

1 2

代入得S40 ＝40a1

40 39

40d 120。2

[例4]等差数列 an 、 bn 的前n项和为Sn、Tn.若

Sna7n 1 (n N ),求7；Tn4n 27b7

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.

数列

a77 7 110 b74 7 2711

错因：误认为

Snan

bnTn

正解：

a7a7 a7S137 13 192

b7b7 b7T134 13 2779

[例5]已知一个等差数列 an 的通项公式an=25－5n，求数列 |an| 的前n项和；错解：由an 0得n 5

an 前5项为非负，从第6项起为负，

Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n 5)

当n 6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+ +｜an｜＝

(20 5n)(n 5)

2

,n 5 50

Sn= (20 5n)(n 5)

,n 6 2

错因：一、把n 5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n 6起”的和.

n(45 5n)

,n 5 2

正解：

(20 5n)(n 5) 50,n 6 2

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前n项和的公式吗？

解：理由如下：由题设： S10 310 S20 1220得：

10a1 45d 310 a1 4

20a1 190d 1220 d 6

n(n 1)

6 3n2 n2

1 n

∴ Sn 4n

[例7]已知：an 1024 lg2 （lg2 0.3010）n N （1） 问前多少项之和为最

大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1）

an 1024 (1 n)lg2 010241024

n 1 3401 n 3403

lg2lg2 an 1 1024 nlg2 0

数列

∴n 3402

（2） Sn 1024n

n(n 1)

( lg2) 02

当Sn 0或Sn近于0时其和绝对值最小 令：Sn 0 即 1024+

n(n 1)

( lg2) 02

得：n

2048

1 6804.99lg2

∵ n N ∴n 6805

[例8]项数是2n的等差数列，中间两项为an和an 1是方程x px q 0的两根，求证此数列的和S2n是方程 lgx (lgn lgp)lgx (lgn lgp) 0的根。 （S2n 0） 证明：依题意an an 1 p

2

2222

∵a1 a2n an an 1 p ∴S2n

2n(a1 a2n)

np

2

∵lg2x (lgn2 lgp2)lgx (lgn lgp)2 0

2

∴ (lgx lgnp) 0 ∴x np S2n （获证）。 四、典型习题导练

1．已知a1 3且an Sn 1 2n，求an及Sn。

n(n 1)(n 1)2

an 2．设an 2 2 3 4 n(n 1)，求证：。22

3.求和: 1

111

1 21 2 31 2 3 n

2

2

2

2

2

2

4.求和： (100 99) (98 97) (4 3) (2 1)

2

2

2

22

5.已知a,b,c依次成等差数列，求证：a bc,b ac,c ab依次成等差数列.6.在等差数列 an 中， a5 a13 40，则 a8 a9 a10 （ ）。

A．72 B．60 C．48 D．36

数列

7. 已知 an 是等差数列，且满足am n,an m(m n)，则am n等于________。8.已知数列

11131

a ,a 成等差数列，且，求a8的值。 35

67 an 2

§4.2等比数列的通项与求和

一、知识导学

1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．

2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．

n a1

3.等比数列的前n项和公 …… 此处隐藏：8851字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……