5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理

Ch.5李雅普诺夫稳定性分析

目录(1/1)

目录 概述 5.1李雅普诺夫稳定性的定义 5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3线性系统的稳定性分析 5.4非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab Matlab问题 本章小结

李雅普诺夫稳定性的基本定理(1/2)

5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理 本节主要研究李雅普诺夫意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。讨论的主要问题有::基本概念:矩阵和函数的定号性(正定性、负定性等):基本方法:非线性系统线性化方法李雅普诺夫第一法矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法李雅普诺夫第二法难点喔!

李雅普诺夫稳定性的基本定理(2/2)

下面先讲述 李雅普诺夫第一法,然后讨论 李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第一法(1/7)

5.2.1李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。

李雅普诺夫第一法(2/7)

下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳定性中的应用。 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元素对x有连续的偏导数。

李雅普诺夫第一法(3/7)

欲讨论系统在平衡态xe的稳定性,先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数,即有 f ( x) x′= f ( xe )+ xτ ( x-xe )+ R ( x-xe )x= xe

= A( x -xe )+ R ( x -xe ) x= xe

其中A为n×n维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。雅可比矩阵A定义为A= f ( x) xτ f1/ x1 ... f1/ xn = ... ... ... f n/ x1 ... fn/ xn x= x e

x= xe

李雅普诺夫第一法(4/7)

上述线性化方程的右边第一项A(x-xe)代表原非线性状态方程的一次近似式,如果用该一次近似式来表达原非线性方程的近似动态方程,即可得如下线性化的状态方程: x’=A(x-xe) 由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间中的坐标平移,将平衡态xe移到原点。 因此,上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程: x x’=Ax x 判别非线性系统平衡态xe稳定性的李雅普诺夫第一法的思想即为: 通过线

性化,将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换到 x讨论线性系统x’=Ax的稳定性问题。

李雅普诺夫第一法(5/7)

李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1.若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具 x有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2.若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正 x实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的稳定性与高阶项R(x)无关。 3.若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 x余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳定性由高阶项R(x)决定。

李雅普诺夫第一法(6/7)

由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 值得指出的区别是: 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺夫方法讨论状态稳定性问题。 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统,而不能推广至时变系统。

7/7)—李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1

5-1 例5-1某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:′ x2 x1 x′ = K ( x 2 1) x K x 2 1 1 2 2 1 试确定系统在原点处的稳定性。 解 1由状态方程知,原点为该系统的平衡态。 1: 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 1 0 f ( x ) A== τ x x=xe K 2 K 1 因此,系统的特征方程为|λI-A|=λ2+K1λ+K2=0

K1, K 2> 0

李雅普诺夫第一法(8/7)

2.由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充分条件为: K1>0和 K2>0.

李雅普诺夫第二法 (1/3)

5.2.2李雅普诺夫第二法 由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力,而且该方法不易推广到时变系统。 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的李雅普诺夫第二法。

李雅普诺夫第二法(2/3)

李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通

过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。

李雅普诺夫第二法(3/3)

在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 数学预备知识,然后介绍一些 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理

数学预备知识(1/1)

1.数学预备知识 下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预备知识: 函数的正定性 二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法