第四章.积分变换法---求解偏微分方程

第四章.积分变换法---求解偏微分方程

第12章

积分变换法

——求解偏微分方程的另一种方法 1.积分变换通过积分运算，把一个函数 f(x)变换为另一个函数

F (α ),即

F (α )=∫ f ( x) K (α, x)dx

K (α, x):积分变换的核，决定了变换的具体形式

f(x):原函数， F (α ):像函数

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几种积分变换：+∞

傅里叶变换

f (k )=

∞

∫

f ( x)e ikx dx

拉普拉斯变换

f ( p )=∫ f (t )e pt dt0

∞

梅林变换

F (α )=∫ f ( x ) xα 1dx0

∞

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2.为什么进行积分变换? (1)经过变换后，函数关系变得简单。如：常微分方程 代数方程；δ奇异函数(阶跃函数、函数、格林函数等) 规则函数 (2)对于有限边界的定解问题，分离变量法适宜；对于无界问题，积分变换法适宜。关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但没有边界条件的定解问题 (柯西问题),但无边界条件就无法构成本征值问题 (分离变量法的重要步骤)。3

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3.积分变换法求解数理方程的基本思想如果不方便从原函数的方程直接求解,那么可能找到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函数，从而得到所要求的解。从物理上讲，经过积分变换后，域发生了变化。例：时间域 t空间域e iωt

频率域波矢域

e ikx

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12.1傅里叶变换一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数一个以2l为周期的函数f(x),若在区间[-l, l]满足狄利克莱条件：(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点，则 f(x)在[-l, l]上可展开为傅里叶级数

a0∞ nπ x nπ x+ bn sin ) f ( x)=+∑ (an cos 2 n=1 l ll

利用三角函数的正交关系，可得1 nπξ an=∫ f (ξ ) cos dξ l l l (n= 0,1, 2, )

1 nπξ bn=∫ f (ξ ) sin dξ l l ll

(n= 1, 2, )

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傅里叶级数的复数形式 (指数形式):nπ令 kn=,则 l

a0∞ f ( x)=+∑ (an cos kn x+ bn sin kn x) 2 n=1利用欧拉公式∞ a a b= 0+∑[ n (eikn x+ e ikn x )+ n (eikn x e ikn x )] 2 n=1 2 2i a0∞ an ibn ikn x an+ ibn ikn x e+ e )=+∑( 2 n=1 2 2=n= ∞

∑

∞

cn eikn x

1 l i ( kn km )ξ dξ=δ nm为了求系数 cn需证明：∫ l e 2l6

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1 l i×0×ξ当 n= m时，∫ e dξ= 1 l 2ll 1 l iπξ ( n m )/ l 1 l dξ= d[eiπξ ( n m )/ l]当 n≠ m时，∫ e 2l l 2l iπ (n m)∫ l 1 l eiπξ ( n m )/ l l= i 2π (n m)=0

1 l i ( k n k m )ξ∴ dξ=δ nm∫ l e 2l对 f ( x)= cn e ik n x两边同乘以 e ik m x,再对 x从 l到 l积分得∑∞

n= ∞

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∞ l 1 l 1 ikm x f ( x) e dx=∑ cn∫ ei ( kn km ) x dx l 2l∫ l n= ∞ 2l

∞ 1 l f ( x) e ikm x dx=∑ cnδ nm= cm 2l∫ l n= ∞

1 l iknξ cn=∫ f (ξ ) e dξ 2l l

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二.傅里叶积分和傅里叶积分定理已知：满足狄利克莱条件的周期性函数f(x)可展开成傅里叶级数问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？设想周期函数的周期2l不断增大而趋于无穷，即自变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有限值，函数并不重复变化，即它已经转化为非周期函数。此时可以把符合一定条件的非周期函数展开成傅里叶积分。

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可以证明：如果定义在 ( ∞,∞)的函数在任一有限区间上满足狄利克莱条件，且绝对可积(∫| f ( x)|dx有界),则在 ∞∞

f(x)的连续点处，傅里叶积分存在：1 f ( x)= 2π ∞ ikx ikξ∫∞ ∫∞ f (ξ )e dξ e dk ∞

1在f(x)的第一类间断点处，积分等于[ f ( x+ 0)+ f ( x 0)] 2

——傅里叶积分定理

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从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡：由于 l→∞,所以相邻两 k n值之差为Δk n= k n+1 k n=→ 0 l 1 l cn=∫ f (ξ ) e iknξ dξ 2l l将 Δk=π→ 1=Δkn n l lπ 代入到 f ( x)=

π

1 f ( x)= Lim∑[∫ f (ξ ) e iknξ dξ] eikn x l→∞ n= ∞ 2l l 1Δkn l= Lim∑[ f (ξ ) e iknξ dξ] eikn x∫ lΔkn→0 n= ∞ 2π∞ 1 l= Lim∑[∫ f (ξ ) e iknξ dξ] eikn xΔkn lΔkn→0 n= ∞ 2π∞∞ (定积分定义)= 1∫[∫ f (ξ ) e ikξ dξ] eikx dk 2π ∞ ∞∞

n= ∞

∑

∞

cn eikn x中得∞ l

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三维形式的傅里叶积分：f ( x1, x2, x3 )= 1 (2π )3

∫

∞

∞

[∫

∞

∞

f (ξ1,ξ 2,ξ3 ) e i ( k1ξ1+ k2ξ2+ k3ξ3 ) dξ1ξ 2ξ3]

ei ( k1x1+ k2 x2+ k3 x3 ) dk1dk2 dk3

采用记号： (书写方便)

x=∑ xi eii=1

3

ξ=∑ξ i eii=1

3

k=∑ ki eii=1

3

d 3ξ= dξ1dξ 2 dξ 3

d k= dk1dk2 dk33

→→

k ξ= k1ξ1+ k 2ξ 2+ k 3ξ 3∞

f (x)=

1 (2π ) 3

∫

∞

∞

[∫

∞

f (ξ ) e i k ξ d 3ξ] ei k x d 3k

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傅里叶积分的三角形式：∞ 1∞ f ( x)= dk∫ dξ f (ξ ) eik ( x ξ ) ∞ 2π∫ ∞∞ 1∞=∫ ∞ dξ f (ξ )∫ ∞ dk[cos k ( x ξ )+ i sin k ( x ξ )] 2π

由上式可见：正弦项是k的奇函数，对k的积分为零；余弦项是k的偶函数，为在区间 (0,∞)积分值的两倍。f ( x)=∞

π∫

1

∞

0

dk∫∞ ∞

∞

∞

f (ξ ) cos[k ( x ξ )]dξ

=∫ dk{[0∞ 0

π∫

1

f (ξ ) cos(kξ )dξ]cos(kx)+[

π∫

1

∞

∞

f (ξ ) sin(kξ )dξ]sin(kx)}

=∫[ A(k ) cos(kx)+ B(k ) sin( kx)]dk13

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其中：A(k )=

π∫

1

∞

∞

f (ξ ) cos(kξ )dξ, B (k )=

π∫

1

∞

∞

f (ξ ) sin(kξ )dξ

三.傅里叶变换的定义 1.定义 1 f ( x)=在傅里叶积分公式令则f (k )=∫∞ ∞

2π

∫

∞

∞

[∫

∞

∞

f (ξ ) e ikξ dξ] e ikx dk

中

f ( x ) e ikx dx

1 f ( x)= 2π

∫

∞

∞

f (k ) eikx dk

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可见：

f ( x) (原函数) f (k ) (像函数) …… 此处隐藏：2257字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……