第4章__参数估计和假设检验

参数估计与假设检验4.1参数估计 4.2假设检验

4.1 参数估计4.1.1参数估计的基本概念 4.1.2总体均值和比例的区间估计 4.1.3必要样本容量的确定

4.1.1 参数估计的基本概念总体 样本

参数

统计量

µ =?

算术平均数

x

用来推断总体参数的统计量称为估计量( 用来推断总体参数的统计量称为估计量(estimator), 其取值称 估计量 估计值( 同一个参数可以有多个不同的估计量。 为估计值(estimate) 。 同一个参数可以有多个不同的估计量。 参数是唯一的， 估计量(统计量)是随机变量， 参数是唯一的，但估计量(统计量)是随机变量，取值是不确 定的。 定的。

点估计点估计: 用估计量的数值作为总体参数的估 计值。 一个总体参数的估计量可以有多个 。例如， 在估计总体方差时，

( xi x ) 2 ∑i =1

n

和

( xi x ) 2 ∑i =1

n

n 都可以作为估计量。

n 1

点估计量的常用评价准则：无偏性无偏性：估计量的数学期望与总体待估参 数的真值相等： E(θ ) =θ P(θ)无偏 有偏

A

B

θ

θ

点估计量的常用评价准则： 有效性

在两个无偏估计量中方差较小的估 计量较为有效。 P(θ) θ1 的抽样分布

B A θ2 的抽样分布

θ

θ

估计量的常用评价准则：一致性指随着样本容量的增大，估计量越来越接 近被估计的总体参数。较大的样本容量

P(X )

B A较小的样本容量

µ

X

区间估计根据事先确定的置信度1 - α给出总体参数 的一个估计范围。 置信度1 - α的含义是：在同样的方法得到 的所有置信区间中，有100(1- α)% 的区间 包含总体参数。 。 抽样分布是区间估计的理论基础。置信区间 置信下限 置信上限

估计值(点估计 估计值 点估计) 点估计

抽样分布 Sampling Distribution从总体中抽取一个样本量为n的随机样本， 我们可以计算出统计量的一个值。 如果从总体中多次抽取样本量为n的样本， 就可以得到统计量的多个值。 统计量的抽样分布就是这一统计量所有可 能值的概率分布。

抽样分布：几个要点抽样分布是统计量的分布而不是总体或样本的 分布。 在统计推断中总体的分布一般是未知的，不可 观测的(常常被假设为正态分布)。 样本数据的统计分布是可以直接观测的，最直 观的方式是直方图，可以用来对总体分布进行 检验。 抽样分布一般利用概率统计的理论推导得出， 在应用中也是不能直接观测的。其形状和参数 可能完全不同于总体或样本数据的分布。

抽样分布的一个演示： 抽样分布的一个演示：重复抽样 时样本均值的抽样分布( ) 时样本均值的抽样分布(1)设一个总体含有4 个个体，分别为X 、 设一个总体含有 个个

体 ， 分别为 1=1、X2=2、X3=3 、 总体的均值、方差及分布如下。 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。 均值和方差总体的频数分布

µ=

∑Xi=1

N

i

NN i=1

= 2.5

σ2 =

(Xi µ)2 ∑ N

=1.25

.3 .2 .1 0 1 2 3 4

抽样分布的一个演示： 抽样分布的一个演示：重复抽样 时样本均值的抽样分布( ) 时样本均值的抽样分布(2)现从总体中抽取n=2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表.所有可能的n = 2 的样本(共16个) 第一个 观察值 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 第二个观察值 2 3 1,2 1,3 2,2 2,3 3,2 3,3 4,2 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4

抽样分布的一个演示： 抽样分布的一个演示：重复抽 样时样本均值的抽样分布( ) 样时样本均值的抽样分布(3)各样本的均值如下表，并给出样本均值的抽样分布 各样本的均值如下表，16个样本的均值(x) 第一个 观察值 1 2 3 4 第二个观察值 1 1.0 1.5 2.0 2.5 2 1.5 2.0 2.5 3.0 3 2.0 2.5 3.0 3.5 4 2.5 3.0 3.5 4.0.1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x .3 .2

P(x)

样本均值的抽样分布

所有样本均值的均值和方差1.0 +1.5 + + 4.0 µx = = = 2.5 = µ M 16i= 1 i

∑xn

n

M 2 2 2 (1.0 2.5) + + (4.0 2.5) σ = = 0.625 = 16 n 1. 样本均值的均值(数学期望)等于总体均值 样本均值的均值(数学期望)2. 样本均值的方差等于总体方差的 样本均值的方差等于总体方差的1/n

σ =2 x

(xi µx )2 ∑i=1

M为样本数目 为样本数目

样本均值的抽样分布与总体分布的比较

总体分布.3 .2 .1 0

.3 .2 .1

P(x)

抽样分布

1

2

3

4

0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

µ = 2.5σ2 =1.25

样本均值的抽样分布

µx = 2.5 2 σ x = 0.625

样本均值的抽样分布_正态总体 正态总体一般的， 一般的，当总体服从 N(μ,σ2 )时，来自该总体 的样本的均值 也服从正态分布， 的容量为n的样本的均值 X也服从正态分布， X 的 期望为μ,方差为σ2/n。即 X~N(μ,σ2/n)。σ =10n=4 σx = 5 n =16 σ x = 2.5

µ = 50

X

µx = 50

X

总体分布

抽样分布