数学：24.2.2《切线长定理》课件人教版九年级上)

24.2.2直线与圆的位置关系(3)

切线长定理

复习1、切线的判定定理

经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。2、切线的性质归纳

O A B

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是： (1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。

知二求一

OA B

切线长概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。A

如右图，线段PA, PB叫做点P到⊙O的 切线长，对吗？B

想一想：切线和切线长是什么关系？

活动 二如图，纸上有一⊙O ,PA为⊙O的一条切线， 沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为 B。 A3、PA、PB有何关系？ PA=PB 4、∠APO和∠ BPO有何关系？

O B

P

∠APO=∠ BPO利用图形轴对称性解释

推理论证已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA, PB,切点分别是A、B. 求证： AP=BP, ∠OPA=∠OPB A 证明：连接OA,OB∵PA,PB与⊙O相切， 点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即 ∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

B

切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。 A 符号语言: PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB B ∠OPA=∠OPB归纳：切线长定理为证明线段相等、 角相等提供新的方法

应用新知1、判断(1)过一点可以做圆的两条切线。(× ) (2)切线长就是切线的长。(× ) 2、已知PA、PB与⊙O相切 于点A、B,⊙O的半径为2 (1)若四边形OAPB的周 长为10,则PA= 3 。 (2)若∠APB=60°, 则PA= 2 2 2 30 4 °

A

3。 ∠AOB=

B

思考已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB,连接AB交OP 于点M,那么OP除了平分∠APB以外，还有什么作用？ 请说明理由。 A

(1)OP垂直平分AB即 OP⊥AB,AM=BM ⌒ (2)OP平分 AB B ⌒ ⌒ 即 AM = BM 切线长定理为证明线段相 等，角相等，弧相等，垂 (3)OP平分∠AOB 直关系提供了理论依据。 即 ∠AOP=∠BOP OM

P

归纳：作辅助线方法 在解决有关圆的切线长 问题时，往往需要我们 构建基本图形。 (1)分别连接圆心和切点 (2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点O

A P

M

B

练习：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。 A (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (3)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB

EO

C DB

P

例题

例：如图，PA、PB分别切⊙ O于A、B, CD与⊙O切于点E,分别交PA,PB于C、 D,已知PA=7cm,求△PCD的周长. 证明： ∵PA、DC为⊙O的切线 ∴DA=DE (切线长定理)

同理可证 CE=CB,PA=PB A 又∵C△PCD=PD+PC+CD D =PD+PC+DE+CE ·O P =PA+PB E =7+7 C =14 cm B

练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 圆⊙O分别相切于点L、M、N、P 求证： AD+BC=AB+CD证明： ∵四边形ABCD的边AB、 D BC、CD、DA和圆⊙O 分别相切于点L、M、N、P ∴AL=AP,LB=MB, NC=MC,DN=DP A ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC

N

C

P

OL

M B

补充结论：圆的外切四边形的两组对边之和相等.

总结

课堂小结1、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的 线段的长，叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等， 垂直关系提供了理论依据。 4、圆的外切四边形的两组对边的和相等.