抛物线知识点归纳总结与金典习题

抛物线

1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y kx b 抛物线

① 联立方程法：

，(p 0)

y kx b

k2x2 2(kb p)x b2 0 2

y 2px

设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有 0,以及x1 x2,x1x2，还可进一步求出

y1 y2 kx1 b kx2 b k(x1 x2) 2b

，

y1y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长

AB k2x1 x2 k2(x1 x2)2 4x1x2 k2

a

或 AB

11 22

y y (y y) 4yy k121212

k2k2a

x1 x2y y2

， y0 1 22

b. 中点M(x0,y0), x0

② 点差法：

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

y1 2px1 y2 2px2 将两式相减，可得

(y1 y2)(y1 y2) 2p(x1 x2)

22

y1 y22p

x1 x2y1 y2

2p

y1 y2

a. 在涉及斜率问题时，kAB

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1 y22p2pp

， x1 x2y1 y22y0y0

即kAB

p， y0

同理，对于抛物线x2 2py(p 0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点

M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kAB

x1 x22x0x0

2p2pp

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜

率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

例2、(2011²山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线

C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )

A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、

B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( ) A．4 B．3 C．43 D．8

例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l

于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( ) 39

A．y2＝ B．y2＝9x C．y2＝ D．y2＝3x

22

三、抛物线的综合问题

例5、(2011²江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若值．

OC＝ OA＋λOB，求λ的

例6、(2011²湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，

B，l2与轨迹C相交于点D，E，求

ADEB的最小值

²

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的1

距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．

2(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

2

例题答案解析

一、抛物线的定义及其应用

例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到

F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，5.

(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.

例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝

|BB1|1

|BC|2

ππp

CBB1＝.即直线AB与x轴的夹角为又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝

3

3

2

π11

4sin＝3，因此△AKF的面积等于AK|²y1＝³4³23＝43.

322

例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，

∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故13

点F到准线的距离为p＝AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.

22三、抛物线的综合问题

例5、(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px

2＋p2＝0，所以：x1＋x2＝

5p

|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 4

p

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)； 设

OC＝(x，y)＝(1，－2

3

3

2)＋λ2)＝(4λ＋1,42λ－22)．

又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 3＝8x3，即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有

x－1

2

＋y2－|x|＝1.化简得

y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－ y＝kx－11)．由 2

y＝4x

，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. (7分)

4

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋2，

k

x1x2＝1. (8分)

1

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得

k

x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)²(x4＋1)

＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 (11分) 41

＝1＋(2＋2＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋2)≥8＋4³1

k

2

k

k2²2＝16.

k

当且仅当k＝2k＝±1 …… 此处隐藏：4998字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……