空间向量与立体几何知识点

空间向量,立体几何

空间向量

知识要点

1. 空间向量的概念：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量是既有大小，又有方向的量。 （2）向量具有平移不变性 2. 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

注：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，

记作a

//b 。

相等向量：长度相等且方向相同的向量． 3. 空间向量的运算。 <向量加法运算>

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a

b

a

b

a

b

．

⑷运算性质：①交换律：a b b a ； ②结合律： a b c a b c

； ③a 0 0 a a

．

⑸坐标运算：设a

x 1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1 x2,y1 y2

<向量减法运算>

a

a b C

C

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设a

xy a b

1,1 ，b x2,y2 ，则 x1 x2,y1 设 、 两点的坐标分别为 x

y2 ．

1,y1 ， x2,y2 ，则 x1 x2,y1 y2 ．

<向量数乘运算>

⑴实数 与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a

．

① a a

；

②当 0时， a 的方向与a 的方向相同；当 0时， a 的方向与a

的方向相反；当 ⑵运算律：① a a ；②

a a a

；③ a b

a b 0时， a 0．． ⑶坐标运算：设a x,y ，则 a

x,y x, y

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A aO,B b，则 AO⑴ 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OB叫做向量a

a,b 0 a,b 与b的夹角，记作；且规定，显然有 a,b b,a ；若 a,b ，则称a与b互相

2

垂直，记作：a b。

⑵ 向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。

⑶ 向量的数量积：已知向量a,b，则|a| |b| cos a,b 叫做a,b的数量积，记作a b，

a b |a| |b| cos a,b 。 即

⑷ 空间向量数量积的性质：

1\零向量与任一向量的数量积为0．

<向量的数量积>

2\设a和b都是非零向量，

①a b a b 0．

2

2

②当a与b同向时，a b ab；当a与b反向时，a b ab；a a a a或a ． ③a b ab

2

3\a e |a|cos a,e 。②a b a b 0。③|a| a a。

⑸ 空间向量数量积运算律：

①( a) b (a b) a ( b)。 ②a b b a（交换律）。 ③a (b c) a b a c（分配律）。

④不满足乘法结合率：(a b)c a(b c)

⑹ 坐标运算：设两个非零向量a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1x2 y1y2．

222

若a x,y ，则a x y，或a

设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1x2 y1y2 0．

a b

设a、b都是非零向量，a x1,y1 ，b x2,y2 ， 是a与b的夹角，则cos

ab

5.向量共线定理：向量aa 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b a．

①三点共线：A、B、C三点共线<=> <=>OC

②设a x1,y1 ，b x2,y2 ，其中b 0，则当且仅当x1y2 x2y1 0时，向量a、bb 0共线

xOA yOB(其中x y 1)

6.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一

对实数 1、 2，使a 1e1 2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）

共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使p xa yb

① 与

共线的单位向量为

7. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量

①四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>AP x y<=>OP x y z(其中x y z 1)

使p xa yb zc。

若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量

都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数

p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，

。 OP xOA yOB zOC

x,y,z，使

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8. 空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使 ，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。

②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示。空间中任一

向量 x y z=（x,y,z）

①若a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，

a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)，a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)， a ( a1, a2, a3)( R)，

a//b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)，

（3）空间向量的直角坐标运算律：

a b a1b1 a2b2 a3b3，

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

a b a1b1 a2b2 a3b3 0。

③模长公式：若a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，

则|a| ，|b|

a b

④夹角公式：cosa b

|a| |b|ΔABC中 ① 0<=>A为锐角 ② 0<=>A为钝角，钝角Δ

⑤两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

则|AB|

或dA,B

⑥定比分点公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， ，则点P坐标为(

x1 x2y1 y2z1 z2

,,)。

1 1 1

x1 x2y1 y2z1 z2

,,) 222

x x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

三角形重心P坐标为P(1 ABC中，A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，,,)

322

9.ΔABC的五心：

推导：设P（x,y,z）则(x x1,y y1,z z1) (x2 x,y2 y,z2 z)，P为AB中点时，P(内心P

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