抽象函数奇偶性对称性周期性总结

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值, 特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比 较困难， 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x T ) f ( x) 恒成立， 则称函数 f ( x) 具有周期性，T 叫做 f ( x) 的一个周期，则 kT ( k Z , k 0 )也是 f ( x) 的 周期，所有周期中的最小正数叫 f ( x) 的最小正周期。 分段函数的周期：设 y f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: y f (x),

x a, b , T b a 。把 y f ( x)沿x轴平移KT K (b a) 个单位即按向量a (kT,0)平移，即得y f ( x) 在其他周期的图像：

y f ( x kT), x kT a, kT b 。 f ( x) f ( x) f ( x kT) x a, b x kT a, kT b

2、奇偶函数： 设 y f ( x), x a, b 或x b, a a, b ①若 f ( x) f ( x), 则称y f ( x)为奇函数； ②若 f ( x) f ( x)则称y f ( x)为偶函数 。分段函数的奇偶性

3、函数的对称性： (1)中心对称即点对称： ①点 A( x, y)与B(2a x,2b y)关于点(a, b)对称； ② 点A(a x, b y)与B(a x, b y)关于(a, b)对称； ③ 函数y f ( x)与2b y f (2a x)关于点(a, b)成中心对称； ④ 函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a, b)成中心对称； ⑤ 函数F(x, y) 0与F (2a x,2b y) 0关于点(a, b)成中心对称。 (2)轴对称：对称轴方程为： Ax By C 0 。 ① 点A( x, y)与B( x / , y / ) B( x 2 A( Ax By C ) 2 B( Ax By C ) ,y ) 关于 2 2 A B A2 B 2

直线 Ax By C 0成轴对称； ②函数 y f ( x)与y 2 B( Ax By C ) 2 A( Ax By C ) f (x ) 关于直线 2 2 A B A2 B 2

Ax By C 0 成轴对称。

③ F ( x, y) 0与F ( x

2 A( Ax By C ) 2 B( Ax By C ) ,y ) 0 关于直线 2 2 A B A2 B 2

Ax By C 0 成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论(一)函数 y f (x) 图象本身的对称性(自身对称)

若 f ( x a) f ( x b) , f ( x) 具有周期性； f (a x) f (b x) , f ( x) 则 若 则 具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、 f (a x) f (

b x) y f (x) 图象关于直线 x

(a x) (b x) a b 对称 2 2

推论 1: f (a x) f (a x) y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 推论 2、 f ( x) f (2a x) 推论 3、 f ( x) f (2a x) 2、 f (a x) f (b x) 2c

y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 y f (x) 的图象关于点 (a b , c) 对称 2

推论 1、 f (a x) f (a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称 推论 2、 f ( x) f (2a x) 2b

y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称

推论 3、 f ( x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称 (二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数 y f (x) 与 y f ( x) 图象关于 Y 轴对称 2、奇函数 y f (x) 与 y f ( x) 图象关于原点对称函数 3、函数 y f (x) 与 y f ( x) 图象关于 X 轴对称 4、互为反函数 y f (x) 与函数 y f 1

( x) 图象关于直线 y x 对称

5.函数 y f (a x) 与 y f (b x) 图象关于直线 x

b a 对称 2

推论 1:函数 y f (a x) 与 y f (a x) 图象关于直线 x 0 对称 推论 2:函数 y f (x) 与 y f (2a x) 图象关于直线 x a 对称 推论 3:函数 y f ( x) 与 y f (2a x) 图象关于直线 x a 对称

(三)抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： (1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x) 性质 2 若函数 y=f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三个式子成立且等价： (1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x) 易知，y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质 1(或 2)当 a=0 时的特例。

2、复合函数的奇偶性 定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=f[g(x)],则复 数函数 y=f[g(x)]为偶函数。 定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=-f[g(x)],则 复合函数 y=f[g(x)]为奇函数。 说明： (1) 复数函数 f[g(x)]为偶函数， f[g(-x)]=f[g(x)]而不是 f[-g(x)] 则 =f[g(x)],复合函数 y=f[g(x)]为奇函数，则 f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是 f[-g(x)]=-f[g(x)]。 (2)两个特例：y=f(x+a)为偶函数，则 f(x+a)=f(-x+a);y=f(x +a)为奇函数，则 f(-x+a)=-f(a+x) (3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数 y=f(x)关于直线 x =a 轴对称(或关于点(a,0)中心对称) 3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于直线 x=(b-a)/2 轴对称 性质 4

、复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中 心对称 推论 1、 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(a-x)关于原点中心对称 4、函数的周期性 若 a 是非零常数，若对于函数 y=f(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件 之一成立，则函数 y=f(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。

①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 y=f(x)同时关于直线 x=a 与 x=b 轴对称，则函数 f(x)必 为周期函数，且 T=2|a-b| 性质 6、若函数 y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称，则函 数 f(x)必为周期函数，且 T=2|a-b| 性质 7、若函数 y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线 x=b 轴对 称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T=4|a-b|6、函数对称性的应用 (1)若 y f ( x)关于点(h, k )对称，则x x 2h, y y 2k ,即/ /

f ( x ) f ( x / ) f ( x ) f ( 2h x ) 2k f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f (2h xn ) f (2h xn 1 ) f (2h x1 ) 2nk(2)例题 1、 f ( x)

1 1 关于点( , )对称：f ( x) f (1 x) 1 ; 2 2 a ax

ax

f ( x)

4x 1 2 x 1关于(0, 1 )对称：f ( x) f ( x) 2 2 x 1

f ( x)

1 1 1 1 ( R, x 0)关于( , )对称：f(x) f ( ) 1 2 2 x x 1

2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称： f ( x) f ( x) 0 。 3、 f ( x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f ( x) 的图像关于直线 x a 对 若 称。设 f ( x) 0有n个不同的实数根，则

x1 x2 xn x1 (2a x1 ) x2 (2a x2 ) x n (2a x n ) na .2 2

(当n 2k 1时，必有x1 2a x1 , x1 a)

(四)常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论< …… 此处隐藏：8616字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……