九年级数学上册 《垂径定理》课件 人教新课标版

赵州桥主桥拱的半径是多少？

问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

实践探究

把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？

可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．

活动二

如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？

（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE

C

弧：ＡＣ＝ＢＣ

⌒

⌒

，ＡＤ＝ＢＤ

和

⌒

⌒

·

O

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，

E

A D B

⌒ 点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ ⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．

⌒

ＢＣ

直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ

⌒

及

ＡＣＢ

⌒

C

即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ

A

⌒

⌒

⌒

⌒

·

O

E B D

垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．

Ｃ

Ｏ Ａ

垂径定理：

Ｅ

Ｂ

Ｄ

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB

推论：

③AM=BM,

可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC,

⌒ ⑤AD=BD.

②CD⊥AB,

⌒

由 ① CD是直径 ③ AM=BM

可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒

判断下列说法的正误

①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧

解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O， ⌒ 如图，用 ＡＢ

AB

半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． 在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2

OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）

C D R O

B

∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

活动三

练习

1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE

AB

A

E

B

1 1 AE AB 8 4 2 2

在Rt △ AOE 中

O

·

AO OE AE

2 2

2

AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm

答：⊙O的半径为5cm.