大一下学期 数学分析 第四套复习题

第四套复习题

《数学分析》期末考试复习题（第四套）

班级 学 号 姓 名

一．（ 满分 2 0 分，每小题 2 分）判断题：

1． 设 是数集E的聚点 . 则存在 0,使在( , )外仅有数集E的 有限个点. ( ) 2. 单调有界数列必为基本列 . ( ) 3. 闭区间[ a , b ]上仅有一个间断点的函数必( R )可积 . ( )

4. 当无穷积分

() 5. 若级数

1n

1

a

f(x)dx和

g(x)dx

a

都收敛时，积分

a

f(x)g(x)dx必收敛

收敛 , 则必有 0. ( )

6. 设un 0且un 0 , ( n ). 则级数 ( 1 )n 1un必收敛 . ( ) 7. 设在区间I上对 n有|un(x)| vn(x). 若级数 vn(x)在区间I上 一致收 敛 , 则级数 un(x)也在区间I上 一致收敛 . ( ) 8. 设在区间I上函数列{fn(x)}收敛于函数f(x).若存在数列{ xn } I, 使 |fn(xn) f(xn)| 0,则函数列{fn(x)}在区间I上非一致收敛 . ( ) 9. 设函数f(x)在区间( R , R ) ( R 0)内有任意阶导数 , 且其Maclaurin 级数

n 0

f

(n)

(0)

n!

x在( R , R ) 内收敛 . 则在( R , R ) 内有f(x)

n

n 0

f

(n)

(0)

n!

x.（）

n

二． ( 满分 1 0 分，每小题 2 分）填空题:

10. x|x| x2sin2x x2 x5 1 dx 1

x

2

1

11. lim

ln(1 t)dt

x

3

.

x 0

第四套复习题

12.

n 1

2n (n 1)

2

.

2

13. fn(x)

nx

2

1 n|x|

, x ( , ). limfn(x) .

n

14. 幂级数

n 1

n!n

n

x

2n 1

的收敛区间为 .

三．(满分 2 4 分，每小题 6 分）计算题:

15. lim

1 2 n

3

3

4

4

43

n

n (1 2 n)

.

16. 把函数f(x) sin2x展开成 x 的幂级数 .

17. 在区间[ , ]上把函数f(x) x展开成Fourier级数 .

18. 求幂级数

n 0

x

n 3

n!(n 2)

的和函数 .

四．(满分1 0 分，每小题 5 分）判敛题:

19. 判断级数

n 1

n 2n(n 2n 1)

2

的敛散性 .

20. fn(x) xn, x [ 0 , 1 ]. 讨论函数列{fn(x)}在区间[ 0 , 1 ]上的一致收敛性.

五．证明题

21. 证明函数项级数

n 1

cosnxn

在( 0 , )内条件收敛 .

22. 设函数项级数 un(x)和 vn(x)在区间I上一致收敛 . 试证明级数

u

n

(x) vn(x) 也在区间I上一致收敛 .

23. f(x)

n 1

1n

x

. 试证明函数f(x)在区间( 1 , )内连续 .

注：本套无解答