北京市西城区2011年高三一模数学理试卷及答案

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北京市西城区2011年高三一模试卷

数 学（理科） 2011. 4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. 1. 已知集合A {x Zx 5}，B {xx 2 0}，则A B等于 （A）(2,5)

（B）[2,5)

（C）{2,3,4}

（D）{3,4,5}

2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A）y 2

x

（B）y x2 x

（C）y 2x

（D）y x3

3. 设a log23，b log43，c 0.5，则 （A）c b a

（B）b c a

（C）b a c

（D）c a b

4．设向量a (1,sin )，b (3sin ,1)，且a//b，则cos2 等于 （A）

3

（B）

3

（C）

3

（D）

3

5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

6.已知函数①y sinx cosx，②y 22sinxcosx，则下列结论正确的是

,0)成中心对称 4

（B）两个函数的图象均关于直线x 成中心对称

4

（C）两个函数在区间( ,)上都是单调递增函数

44

（A）两个函数的图象均关于点( （D）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线C:y

1

(x 0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2 x1 0.过A1，A2分x

别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么 （A）x1,

x3

,x2成等差数列 2

（B）x1,

x3

,x2成等比数列 2

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（C）x1,x3,x2成等差数列

（D）x1,x3,x2成等比数列

8．如图，四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直，OA OB 2,OC 3，D为四面体OABC外一点.给出下列命题.

①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D,使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是 （A）①②

（B）②③

（C）③

（D）③④ O

D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数

2i

对应的点到原点的距离为_____. 1 i

10.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，

已知PA PC 4，圆心O到BC

O的半径为_____.

11.已知椭圆C: 率e ______.

x cos ,1

( R)经过点(m,)，则m ______，离心

2 y 2sin

12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.

13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两

正(主)视图 侧(左)视图

个展位，则不同的展出方法有____种.

14.已知数列{an}的各项均为正整数，对于n 1,2,3, ，有

俯视图

3an 5,an为奇数，

当a1 11时，a100 ______； an 1 an

,a为偶数.其中k为使a为奇数的正整数nn 1 2k

*

若存在m N，当n m且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为______.

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三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

设 ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB （Ⅰ）当a

4

,b 2. 5

5

时，求角A的度数；（Ⅱ）求 ABC面积的最大值. 3

16．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

111,,p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为. 234

（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p的值；

（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX.

17.（本小题满分13分）

如图, ABCD是边长为3的正方形，DE 平面ABCD，AF//DE，DE 3AF，

BE与平面ABCD所成角为600.

(Ⅰ)求证：AC 平面BDE； (Ⅱ)求二面角F BE D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论.

C

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18. （本小题满分14分）

已知函数f(x)

a(x 1)

，其中a 0. 2

x

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若直线x y 1 0是曲线y f(x)的切线，求实数a的值； （Ⅲ）设g(x) xlnx x2f(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最大值.

（其中e为自然对数的底数）

19. （本小题满分14分）

已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A,B两点，其中点A在第一象限.

（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；

11

（Ⅱ）若FA 1AP,BF 2FA,1 [,]，求 2的取值范围.

242

20.（本小题满分13分）

定义 (a1,a2, ,an) |a1 a2| |a2 a3| |an 1 an|为有限项数列{an}的波动强度.

（Ⅰ）当an ( 1)n时，求 (a1,a2, ,a100)；

（Ⅱ）若数列a,b,c,d满足(a b)(b c) 0，求证： (a,b,c,d) (a,c,b,d)； （Ⅲ）设{an}各项均不相等，且交换数列{an}中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{an}一定是递增数列或递减数列.

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北京市西城区2011年高三一模试卷

参考答案及评分标准

数学（理科） 2011.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 2 10. 2 11.

， 42

12. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cosB 分

因为a 分

因为a b，所以A是锐角， 所

以

43

，所以sinB . 255

5ab1

，b 2，由正弦定理可得sinA . 4

3sinAsinB2

A 30o. 6分

13

ac，（Ⅱ）因为 ABC的面积S acsinB 7

210

分

所以当ac最大时， ABC的面积最大.

222

因为b a c 2accosB，所以4 a c

2

2

8

ac. 95

分

因为a c 2ac，所以2ac

2

2

8

ac 4， 115

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分

所以ac 10，

（当a c 12分

所

以

AB

面积的最大值为

3. 13分

16.（本小题满分13分）

解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A1,A2,A3，依题意有

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