线性代数第二版第一章1

线性代数第二版 主编：吴传生 第一章

第一节

二、三阶行列式，n阶行列 三阶行列式， 式的定义

主要内容二阶行列式 三阶行列式 N阶行列式

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一、二阶行列式引例1 引例1

用消元法解二元线性方程组

a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .

(1) (2 )

(1) × a22 : (2) × a12 :

a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 , a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,

两式相减消去 x2,得

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(a11a22 a12a21)x1 = b1a22 a12b2 ;

类似地， 类似地，消去 x1,得 (a11a22 a12a21)x2 = a11b2 b1a21 ,

当 a11a22 a12a21 ≠ 0 时， 方程组的解为b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 = . , x2 = a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 (3)

由方程组的四个系数确定. 由方程组的四个系数确定

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为了记忆该公式， 为了记忆该公式，引入记号

a11 a12 = a11a22 - a12a21 a21 a22并称之为二阶行列式.

备注

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定义

由四个数排成二行二列(横排称行、 由四个数排成二行二列(横排称行、竖排

称列) 称列)的数表

a11 a12 a21 a22 ( 4)

表达式 a11a22 a12 a21称为数表( 4)所确定的二阶 称为数表( a11 行列式， 行列式，并记作 a21即

a12 a22

( 5)

D=

a11 a21

a12 a22

= a11a22 a12a21 .

法则

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式中x 由二阶行列式的定义， 由二阶行列式的定义， 2) 式中 1、x2 分子 ( 也可写成二阶行列式， 也可写成二阶行列式，即 b1 a12 a11 b1 ba22 - a12b2 = , a11b2 - ba21 = . 1 1 b2 a22 a21 b2

记法则当 D≠0时，方程组( 1) 有唯一解 b1 a12 a11 b1 D1 b2 a22 D2 a21 b2 注意 x1 = , = x2 = . = D a11 a12 D a11 a12 a21 a22 a21 a22

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例1 求解二元线性方程组

3 x 1 2 x 2 = 12 , 2 x1 + x 2 = 1 .

解

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二、三阶行列式定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a11 a12 a13 记 a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式. 所确定的三阶行列式. 式称为数表(

(5)

(6)

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三阶行列式的展开式也可用对角线法得到, 三阶行列式的展开式也可用对角线法得到, 三阶行列式的对角线法则如下图所示: 三阶行列式的对角线法则如下图所示:

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号, 其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一 条虚线上的三个元素的乘积带负号, 条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代 数和就是三阶行列式的展开式. 数和就是三阶行列式的展开式.

注意

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例 2

计算三阶行列式

1 D= 2 - 1

- 2 1 1

1 - 3 - 1

解

行列式的定义模型

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例 3

求解方程1 2 4 1 3 9 1 x = 0. x2

解

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利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 3

3 3 3

a11的系数行列式 D = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 ≠ 0, a33

求解

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例4

解线性方程组 x1 2 x2 + x3 = 2, 2 x1 + x2 + 3 x3 = 1, x + x x = 0. 1 2 3

解

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练习求一个二次多项式f (1) = 0, f (2 ) = 3,

f ( x ), 使f ( 3 ) = 28.

解

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思考现在的问题是, 元线性方程组, 现在的问题是,对于 n 元线性方程组,是否也 有类似的求解公式？若有，如何定义n阶行列式？ 有类似的求解公式？若有，如何定义n阶行列式？

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三、n阶行列式1、余子式和代数余子式

定义 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 阶行列式中,i 行和第 j 列划去后,剩下的元素按它们在原行列 列划去后, 式中的相对位置组成的 n-1 阶行列式叫做元素aij 阶行列式叫做元素a 的余子式,记作 Mij; 记 Aij=(-1)i+jMij , =(Aij 叫做元素 aij 的代数余子式.

求余子式模型

练习