高中数学重要解题方法与技巧

高中数学重要解题方法与技巧

1 解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。 具体转化方法有： ①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。 2 根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是： 提取公因式 选择用公式 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 3 利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根 据有： ① a 2 ab b a b 2 2 2 2 2 2

② a b c 2 ab 2 bc 2 ca a b c ③ a b c ab bc ca 2 2 2

2

1 2

a b 2

2

b c c a 2

2

b 2a ) 2

④ax2+bx+c=a(x2+

b a

x )+c=a(x +

b a

x+

b

2 2

)+c-

b

2

a(x

b 4ac2

4a

4a

4a

4 解某些复杂的特型方程要用到‘换元法’ 。换元法解方程的一般步骤是：设元 换元 解元 还元 5 待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的 解决。其解题步骤是： (1)设(2)列(3)解(4)写 6 复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。 ①因式分解型： - - - - - - - - - 0 ②配成平方型： - - - - - - - - - 02 2

两种情况为或型 两种情况为且型

7 数学中两个最伟大的解题思路： (1)求值的思路 方程思想与方法

列欲求值字母的方程或方程组

(2)求取值范围的思路 列欲求范围字母的不等式或不等式组 8 化简二次根式 m 的基本思路是：把 m 化成完全平方式。即： m m a2

不等式思想与方法

a

2

= a 结果

按 a 的情况分类讨论

9 化简 a 2 b 的方法是观察法：a

b =(x y )

2

其中，xy=b, x+y=a 且 x>y>0

10 代数式求值的方法有： (1)直接代入法 (2)化简代入法 3)适当变形法(和积代入法) 注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母‘和与积’的形式，从而用‘和积代入法’求值。 11 方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。解含参方程一般要用‘分类讨论法’ ,其原 则是： ①按照类型求解， ②根据需要讨论

, ③分类写出结论。 12 恒相等成立的有用条件： (1)ax+b=0 对于任意 x 都成立 关于 x 的方程 ax+b=0 有无数个解 a=0 且 b=0。 (2)ax2+bx+c=0 对于任意 x 都成立 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有无数解 a=0、b=0、c=0。

高中数学重要解题方法与技巧

13 由一元二次不等式解集为 R 的有关结论容易得到下列恒不等成立的条件： (1) ax2+bx+c>0(a 0)对一切 x 恒成立 a 0 0 a 0 0

(2) ax2+bx+c<0(a 0)对一切 x 恒成立

a 0 0

(3) ax2+bx+c 0(a 0)对一切 x 恒成立

(4) ax2+bx+c 0(a 0)对一切 x 恒成立

a 0 0

14 图像的平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是：y f ( x ) k 0 , 单 位 k 0 , 下 移 k 单 位 。 y f ( x h ) k 上 移 k个 ; 个 h 0 ,左 移 h个 单 位 ； h 0 ,右 移 h 个 单 位 。

15 讨论函数性质的重要方法是图像法——看图像、得性质。 ① 定 义 域 ② 值 域 ③ 单 调 性 ④ 最 值 ⑤ 奇 偶 性 ⑥ 周 期 性 图 像 在 x轴 上 对 应 的 部 分 图 像 在 y轴 上 对 应 的 部 分 从 左 向 右 看 ， 连 续 上 升 的 一 段 在 x 轴 上 对 应 的 区 间 是 增 区 间 从 左 向 右 看 ， 连 续 下 降 的 一 段 在 x 轴 上 对 应 的 区 间 是 减 区 间 图像最高点处有最大值，图像最低点处有最小值。 图 像 关 于 y轴 对 称 是 偶 函 数 ； 图 像 关 于 原 点 对 称 是 奇 函 数 图像每隔定长重复出现是周期函数。

16 函数、方程、不等式间的重要关系： 方程的根 函数图像与 x 轴交点横坐标 不等式解集端点 17 一元二次不等式的解法 一元二次不等式可以用因式分解转化为二元一次不等式组去解，但比较复杂；它的简便的 实用解法是根据‘三个二次’间的关系，利用二次函数的图像去解。具体步骤如下： 二次化为正

判别且求根

画出示意图

解集横轴中

18 一元二次方程根的讨论 一元二次方程根的符号问题或 m 型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决，但 根的一般问题、特别是区间根的问题要根据‘三个二次’间的关系，利用二次函数的图像来解决。 ‘图像法’解决一 a 的符号 的情况 不等式组 对称轴的位置 区间端点函数值的符号

元二次方程根的问题的一般思路是：题意 二次函数图像

19 基本函数在区间上的值域 我们学过的一次函数、反比例函数、二次函数等有名称的函数是基本函数。基本函数求 值域或最值有两种情况： (1)定

义域没有特别限制时---记忆法或结论法； (2)定义域有特别限制时---图像截断法， 一般思路是 ： 画出图像

截出一断

得出结论

20 最值型应用题的解法 应用题中，涉及‘一个变量取什么值时另一个变量取得最大值或最小值’的问题是最值型应 用题。解决最值型应用题的基本思路是函数思想法，其解题步骤是： 设变量

列函数

求最值

写结论

21 穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是： 首项化正

求根标根

右上起穿

奇穿偶回

注意：①高次不等式首先要用移项和因式分解的方法化为“左边乘积、右边是零”的形式。②分式不等式一般不能用 两边都乘去分母的方法来解，要通过移项、通分合并、因式分解的方法化为“商零式” ,用穿线法解。