第七讲 分式线性变换

第七讲 分式线性变换 形如f(z) az b(a,b,c,d 且ad bc 0)的分式函数,即等价于 cz d

az b为分式线性变换

. cz df: ,z w

f是 上的双射. 设w f(z)

b dwaz b dw b,z f 1(w) z ,即f 1(w) . cw acz dcw

af 1也是分式线性变换

.

特别地,

b f(0) d f( ) limaz b a

z cz d c b f 1(0) a dw bd f 1( ) lim z cw ac

1 反演变换 形如w 1的变换,称为反演变换(如图7.1). z

2 相似变换

(1)平移变换:f(z) z h,(h )(如图

7.2).

(2)旋转变换:f(z) ei z,( )(如图7.3).

(3)伸缩变换:f(z) rz,(r 0)(如图

7.4).

综上:相似变换统一写成f(z) kz h k(eiargk z) h.

引理1

形如f(z) az b(a,b,c,d 且ad bc 0)的分式线性变换必是一系列cz d

相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式

线性变换.

证明:( ) case1:c 0 f(z) az bab z 是相似变换. ddd

bc ad1a ,即如下复合: ccz dc

1bc ad1bc ad1a cz dccz dccz dccase2:c 0 f(z) z cz d

( ) 设g(z) a'z b',要证gf(z)也是分式线性变换.经过计算,得 c'z d'

gf(z)

为分式线性变换.证毕.

(aa' cb')z (ba' db') (ac' bd')z (bc' db')

反演变换的性质

保圆周性

定理2 分时线性变换f(z) az b将圆周(或直线)映为圆周(或直线). cz d

证:(方法一) f(z) az b1是w 和w kz h的复合而成的 cz dz

11 只需讨论w 或w kz h的形式,其中,后一情形显然.只讨论w 的情形. zz

圆周曲线的方程为

Azz Bz Bz C 0

其中,A,C ,B AC.(当A 0时,是直线方程).代入w 21得到 z

Cww Bw Bw A 0

依然为圆周曲线的方程.得证.

(方法二)(1)圆周方程也可写为z z0 r如图7.5,在反演变换w 1下,像可写为 z

case1:圆周不过原点z 0(即z0 r)时,像为

w

依然是圆周曲线的方程. z0z0 r22 rz0 r22

case2:圆周过原点z 0(即z0 r),像为z0w z0w 1(Re(z0w) ),得证.

(2)直线方程ax by c 0(z x iy,a,b,c ),即Re((a ib)z) c,在反演变换下:

case1:当c 0时,像是圆周曲线w 12a iba ib. 2c2c

case2:当c 0时,像是直线Re((a ib)w) 0.

保交比性

定义 在 中取z1,z2,z3,z4(zi zj,i,j 1,2,3,4),则交比

(z1,z2,z3,z4)

注:若z4 ,则(z1,z2,z3,z4) z4 z1z3 z1. :z4 z2z3 z2z3 z1. z3 z2

az b,设wi f(zi)(i 1,2,3,4),则 cz d保交比性 分时线性变换f(z)

(w1,w2,w3,w4)

(z1,z2,z3,z4).

ex1: 已知圆周z 1上有三点z1 0,z2 2,z3 1 i(如图7.6),求f(z) az b

cz d

使得f(0) ,f(1 i) 1 i,f(2) 1. 2

解:由保交比性得( ,1,1 i,w) (0,2,1 i,z),即 2

(3 i)z 411z 0(1 i) 0. : : f(z) w 1(1 i)z 1z 2(1 i) 2

2

保边界性

复函数w f(z),其定义域D为区域,则值域f(D)也是

区域；设 D是D的边界,则f( D)是f(D)的边界.若指

定 D定向,则f( D)保持定向.

注:沿区域D的边界行走时,区域D总在左边(如图

7.7).

ex2:

如图7.8,设D {z|Imz 0},f(z) 1,求f(D). z

1知f( D) D,z解:D边界 D {实数轴},f( D)也是f(D)的边界,由w

所以f(D)边界仍为实轴. D定向从左到右,由w 1知f( D)定向从右到左z

f(D)必是下半平面.

保对称性

称平面上的点z1,z2关于圆周或直线C对称,设z1,z2 ,

case1:当C为直线时,z1,z2关于C对称,即通常意义下是镜像对称； case2:当C为圆周时, C的方程为

z z0 r

z1,z2关于C对称 (z1 z0)(z2 z0) r2 z0,z1,z2三点一线,并且他们之间的距离满足

z1 z0 z2 z0 r2. 若f(z)

ex3: 求f(z) az b且z1,z2关于C对称,则f(z1),f(z2)关于f(C)对称. cz daz b满足 cz d

f(i) 0,argf'(i) ,D {z|Imz 0},f(D) {w|w 1}(如图7.9). 2

解:

i与i关于实轴对称,由保对称性f( i)与f(i)关于f(D)对称 f( i) 可推出

f(z) k(z i) z i

由保边界性, 0 D 故f(0) f(D),即

f(0) 1

k(0 i)ei (z i)i f(0) k f(0) k 1 可设k e,则f(z) 0 iz i f'(z) ei 2i代入z i得 2(z i)

)i1i( 2f'(z) e( ) e argf'(z) 222i

由条件得 0 k 1 f(z) z i. z i

更一般的变换w f(z)在D上解析且

f'(z) 0, z D,称f:D f(D)为解析变换

.

保角性

如图7.10, 是曲线C1,C2在点P处的夹角,则

f(C1),f(C2)在点f(P)处的夹角也是 .

设曲线C:z z(t),t , ,P z(t0),在点P处的切线

方向为

z'(t)|t t0 z'(t0) x'(t0) iy'(t0),

: 在点P处的切线方向为 z z(t),t , ,曲线C设曲线C

在点P处的夹角 z'(t)与z '(t) C与C '(t)的夹角 ,即z000

argz'(t0),如图7.11. z'(t0)

设f:D f(D)解析变换(也就

是解析函数),f在z z0处满足

在z zf'(z0) 0,同上,设C,C0

处相交(记号同上)如图7.12

解析函数w f(z)是C对应的方

程,有

w'(t0) f'(z(t0)) z'(t0) argw'(t0) argf'(z0) argz'(t0) (1)

对应的方程,有 f(z )是C解析函数w

'(t) f'(z (t)) z '(t) argw'(t) argf'(z ) argz '(t) (2) w000000

上(1)(2)两式相减得 argw'(t0)z'(t0) argw'(t0)z'(t0)

w'(t0) arg '(t)w 0由定义 由上式得 ,该性质称为保角性

. z'(t)0 arg'(t) z0

注:f'(z0) 0 argf'(z0)有定义.

引理1 设w f(z)在D上解析且f'(z) 0, z D,则f在D上每点保角. 注:若f是D上单叶解析函数,则f:D f(D)称为共形映射(保形映射).