江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州2016届高考数学一模试卷(解析版)

2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷

一.填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分

1．已知集合A={0，a}，B={0，1，3}，若A∪B={0，1，2，3}，则实数a的值为．2．已知复数z满足z2=﹣4，若z的虚部大于0，则z=．

3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有辆．

4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．

5．函数f（x）=2sin（ωx+?）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．

6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率

为．

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7．抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线=1渐近线的距离为 ．

8．已知矩形ABCD 的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱柱D ﹣ABC 的体积 ．

9．若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2（a 1?a 2…a 13）=13，等差数列{b n }满足b 7=a 7，则b 1+b 2…+b 13的值为 ．

10．定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，f （x ）=log 2（x+2）+（a ﹣1）x+b （a ，b 为常数），若f （2）=﹣1，则f （﹣6）的值为 ．

11．已知||=||=，且?=1，若点C 满足|+|=1，则||的取值范围是 ．

12．已知函数f （x ）=

若关于x 的不等式f （x ）＜π的解集为（﹣∞，

），则实数a 的取值范围是 ． 13．已知点A （0，1），B （1，0），C （t ，0），点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为 ．

14．已知正数a ，b ，c 满足b+c ≥a ，则+

的最小值为 ．

二.解答题：本大题共6小题，共90分

15．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA=，tan （A ﹣B ）=﹣． （1）求tanB 的值；

（2）若b=5，求c ．

16．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ，E 为棱PD 的中点． （1）求证：PB ∥平面EAC ；

（2）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．

17．如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN

，

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且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则曲线符合函数y=x+（1≤x ≤9）模型，设PM=x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f （x ）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．

（1）求f （x ）解析式；

（2）当x 为多少时，总造价f （x ）最低？并求出最低造价．

18．已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1=1，s n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：

a n S n+1﹣a n+1S n +a n ﹣a n+1=λa n a n+1（λ≠0，n ∈N ? ）

（1）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；

（2）若λ=，求S n ．

19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），过点A 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k （k ≠0）都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；

（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求的最小值．

20．已知函数f （x ）=e x [x 3﹣2x 2+（a+4）x ﹣2a ﹣4]，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）若函数f （x ）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a 的值；

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（2）关于x 的不等式f （x ）＜﹣e x 在（﹣∞，2）上恒成立，求a 的取值范围；

（3）讨论函数f （x ）极值点的个数．

选做题：在A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做2题，每题10分，共20分A.[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图，∠PAQ 是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点B ，C ．求证：BT 平分∠OBA ．

B.[选修4-2：矩阵与变换]

22．已知矩阵A=

，求矩阵A 的特征值和特征向量．

C.[选修4-4坐标系与参数方程]

23．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为，已知，P 为圆C 上一点，求△PAB 面积的最小值．

D.[选修4-5：不等式选讲]

24．设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x+

≥2y+3．

必做题：每小题10分，共20分

25．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB=AC=1，AA 1=2，点P 是棱BB 1上一点，满足

=λ（0≤λ≤1）． （1）若，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值；

（2）若二面角P ﹣A 1C ﹣B 的正弦值为，求λ的值．

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26．已知数列{a n }满足a n =3n ﹣2，f （n ）=++…+，g （n ）=f （n 2）﹣f （n ﹣1），n ∈N *．

（1）求证：g （2）＞；

（2）求证：当n ≥3时，g （n ）＞．

2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分

1．已知集合A={0，a}，B={0，1，3}，若A∪B={0，1，2，3}，则实数a的值为2．

【考点】并集及其运算．

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．

【分析】根据题意，由A与B及A∪B，易得a=2，即可得到答案．

【解答】解：∵集合A={0，a}，B={0，1，3}，且A∪B={0，1，2，3}，

则有a=2，

故答案为：2．

【点评】本题考查集合的并集运算，注意要考虑集合元素的互异性．

2．已知复数z满足z2=﹣4，若z的虚部大于0，则z=2i．

【考点】复数的基本概念．

【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．

【分析】直接利用复数的基本运算，求复数z．

【解答】解：由z2=﹣4，

则z2=（±）2

∴z=±2i，又z的虚部大于0，

∴z=2i．

故答案：2i．

【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数代数形式的运算，是基础题．

3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆

进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有75辆．

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【考点】频率分布直方图．

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】先求出速度在70km/h 以下的汽车所点频率，由此能求出速度在70km/h 以下的汽车有多少辆．

【解答】解：由频率分布直方图，得速度在70km/h 以下的汽车所点频率为（0.02+0.03）×10=0.5， ∴从速度在50﹣90km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，

则速度在70km/h 以下的汽车有：150×0.5=75（辆）．

故答案为：75．

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运 …… 此处隐藏：6999字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……