第五章 平面向量 章末大盘点

一、数形结合思想 向量的加、 向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景， 数乘等线性运算有着丰富的几何背景， 同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能 同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能. 因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的 因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“ 双重身份”,自然处于中学数学知识的重要交汇点.显然，形 双重身份 ，自然处于中学数学知识的重要交汇点 显然， 显然 成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问题 的关键. 的关键

【示例1】 已知向量 2=b2=1,且a·b= 示例 】 已知向量a , = (1)|a+b|;(2)a与(b-a)的夹角. (1)|a+b|;(2)a与(b-a)的夹角. 的夹角

求

[解] 法一：(数形结合法 解 法一： 数形结合法 数形结合法) 作 由a2=b2=1及a·b= 及 = 以 得 为邻边作 为邻边作 ABCD,如图所示 ，如图所示.

又∠BAD∈[0°,180°],∴∠ ∈ ° ° ,∴∠BAD=120°. = ° 所以四边形ABCD为边长为 且一个内角为 为边长为1且一个内角为 所以四边形 为边长为 且一个内角为120°的菱形，易 °的菱形， 得 (1)|a+b|= + = (2)a与(b-a)的夹角为 与 - 的夹角为 的夹角为150°. °

法二： 数量积运算法 数量积运算法) 法二：(数量积运算法

由于0° 由于 °≤θ≤180°,∴θ=150°. ° = ° 所以a与 - 的夹角为 的夹角为150°. 所以 与(b-a)的夹角为 °

[领悟 法一充分利用向量加法的平行四边形法则转化 领悟] 领悟 为平面几何求解是直观形象， 为平面几何求解是直观形象，法二利用向量的数量积运 算及其变形公式更是简洁明快. 算及其变形公式更是简洁明快

二、等价转化的思想 等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题， 等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将 复杂问题化为简单的问题来处理.在本章中，可利用向量的 复杂问题化为简单的问题来处理 在本章中， 在本章中 坐标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算，即将向 坐标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算， 量的加、 量的加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实 实数与向量的积和数量积的运算， 数的加、 数的加、减、乘的运算.把一些几何问题的证明转化为向量 乘的运算 把一些几何问题的证明转化为向量 的代数运算，无不体现了等价转化思想 的代数运算，无不体现了等价转化思想.

【示例2】 示例 】

已知正方形ABCD,E、F分别是 、AD的中点， , 、 分别是 分别是CD、 的中点 的中点， 已知正方形

BE、CF交于点 、 交于点 交于点P. 求证：

求证：(1)BE⊥CF; ⊥ ; (2)AP=AB. =

[证明 如图建立直角坐标系 ，其中 为原点， 证明] 如图建立直角坐标系xAy,其中A为原点 为原点， 证明 不妨设AB= , 不妨设 =2, 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). , , , , ,

,-1), =(-2,- , - ,- =-1× - + × - = , =- ×(-2)+2×(-1)=0, 即BE⊥CF. ⊥

(2)设P(x,y),则 设 ， , ∴-X=-2(y-1),即x=2y-2 , 同理由 解得 =-2x+ ,代入x= - 得y=- +4,代入 =2y-2. =-

[领悟 本题为平面几何问题，证明过程中以直角坐标系 领悟] 本题为平面几何问题， 领悟 为平台，以向量为工具，较容易地完成了证明 显然 显然， 为平台，以向量为工具，较容易地完成了证明.显然，向量 共线与向量垂直的坐标运算，运用得既巧妙而又必不可少， 共线与向量垂直的坐标运算，运用得既巧妙而又必不可少， 突出重点的同时更突破了难点. 突出重点的同时更突破了难点

三、函数与方程的思想 向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的 向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的. 例如，向量 ， 的坐标中含有参数 的坐标中含有参数t时 计算a·b时 例如，向量a,b的坐标中含有参数 时，计算 时，即把 a·b视为关于 的函数；解决共线向量时，则常常借助 =λa 视为关于t的函数 解决共线向量时，则常常借助b= 视为关于 的函数； 来确定λ, 的方法即利用向量相等的充要条件列出方程 来确定 ，求λ的方法即利用向量相等的充要条件列出方程 (组)来求解 在应用正、余弦定理求解时，有时也用到解方 组 来求解 在应用正、余弦定理求解时， 来求解.在应用正 程思想. 程思想.

【示例3】 示例 】

最大， 最小 最小， △ABC中，A最大，C最小，且A=2C,a+c 中 最大 = , +

=2b,求此三角形三边之比. ,求此三角形三边之比.

[解] △ABC中，由正弦定理得= 解 中 由正弦定理得= ∴ =2cosC,即cosC= , =

由余弦定理得cosC= = 由余弦定理得

∵2b=a+c,∴= = + ,

整理得(2a-3c)(a2-c2)=0,解得a=c或a= 整理得 - = ,解得 = 或 = 不合题意. ∵A>C,∴a>c,∴a=c不合题意. , , = 不合题意 当a= = 时，b= = (a+c)= + = c=6∶5∶4. = ∶ ∶

∴a∶b∶c= ∶ ∶ =

故此三角形三边之比为6∶ ∶ 故此三角形三边之比为 ∶5∶4.