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B A 1

C 1A B 1C 1、在如图所示的四面体ABC

D 中，CD BC AB 、、两两互相垂直，且1==CD BC . （Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角D AB C --的大小；

（Ⅲ）若直线BD 与平面ACD 所成的角为?30，求线段AB 的长度.

2、如图，三棱柱111A B C ABC -中，平面1A AB ⊥平面ABC ，平面

1A AC ⊥平面ABC ，

90BAC ∠= ，12,3AB AC AA ===

（1）求证：1A A ⊥平面ABC ；

（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值；

（3）求点1B 到平面1ABC 的距离.

3、如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB ，AC 于11,B C ．将11AB C ?沿11B C 折起到111A B C ?的位置，使点

1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M ．求

（Ⅰ）二面角111A B C M --的大小；

（Ⅱ）异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值大小

A 1A

B C D 1B F

1C 1D E 4、如图，已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30?，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点. （I ）求异面直线AE 与BF 所成的余弦值；

（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角余弦值； （III ）求点A 到平面BDF 的距离.

5、在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BAD=90?,AD=DC=21

AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC 折起，

使D 到D '．记面AC D '为α,面ABC 为β．面BC D '为γ．

（1）若二面角α-AC -β为直二面角（如图二），求二面角β-BC -γ的大小;

（2）若二面角α-AC -β为60?（如图三），求三棱锥D '-ABC 的体积．

6、如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它

们的公垂线段。点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，

AM MB MN ==。

（Ⅰ）证明AB ⊥NB ；

（Ⅱ）若60O ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所

成角的余弦值。

7、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动。

（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；

（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；

（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4

π

。

D

C B A

A 1

E

D 1

C 1

B 1

8、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；

（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；

（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论. 9、如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小的正切值； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．

A

B

C

D

1

A 1

B 1

C E

F G H

I

理科解答题：

1、在如图所示的四面体ABCD 中，CD BC AB 、、两两互相垂直，且1==CD BC . （Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角D AB C --的大小；

（Ⅲ）若直线BD 与平面ACD 所成的角为?30，求线段AB 的长度.

解法一：（Ⅰ）证明: ,CD AB CD BC ⊥⊥，⊥∴CD 平面ABC .

又 ?CD 平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC .

（Ⅱ）CD AB BC AB ⊥⊥, ，⊥∴AB 平面BCD BD AB ⊥∴.

∴CBD ∠是二面角D AB C --的平面角.…………6分

在BCD Rt ?中,BC CD =，?=∠∴45CBD . ∴二面角D AB C --的大小为?45.

（Ⅲ）过点B 作AC BH ⊥，垂足为H ,连结DH .

平面ACD ⊥平面ABC ，⊥∴BH 平面ACD ，

∴BDH ∠为BD 与平面ACD 所成的角. ∴?=∠30BDH .在Rt BHD ?中,2BD =，∴22=BH .又 在Rt BHC ?中,1BC =，?=∠∴45BCH ， ∴在ABC Rt ?中,1=AB .

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）设a AB =,建立如图所示的空间直角坐标系

则)0,0,0(B ，),,0,0(a A )0,1,0(C ，)0,1,1(D ,)0,1,1(=BD ，),0,0(a BA = , 平面ABC 的法向量)0,0,1(=CD .

设平面ABD 的一个法向量为n (,,)x y z =，

BD ? n 0x y =+=，BA ? n 0az ==，z =0,

取1=y ，则1-=x ，∴ n (1,1,0)=-.

cos ,CD ∴< n n

22

|n|CD CD ?>==-?， ∴二面角D AB C --的大小为?45

（Ⅲ）),1,0(a AC -=，)0,0,1(=CD ，)0,1,1(=BD . C

A

B H

z x B A 1

C 1

A

B 1

C

B

A 1

C 1

A

B 1

C

设平面ACD 的一个法向量是m (',',')x y z =，则AC ?m ''0y az =-=，CD ?m '0x ==

令''1,z y a ==，则m (0,,1)a =， 直线BD 与平面ACD 所成角为?30，

cos ,BD ∴<m 2

cos 60.||

12

BD m BD m a ?>=

=

=?+?，∴a AB ==1.

2、如图，三棱柱111A B C ABC -中，平面1A AB ⊥平面ABC ，平面1A AC ⊥平面ABC ，

90BAC ∠= ，12,3AB AC AA === （1）求证：1A A ⊥平面ABC ；

（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值； （3）求点1B 到平面1ABC 的距离.

（1）证明：

平面1A AB ⊥平面ABC ，平面1A AB ?平面ABC=AB CA AB ⊥

CA ∴⊥平面1A AB ∴1A A CA ⊥

同理 1AA BA ⊥

又 CA BA A ?= ABC ⊥1AA 平面

（2）解：由（1）知1,,AB AC AA 两两互相垂直， 因此可以A 为坐标原点，线段1,,AB AC AA 所在直线为x y z 轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系A xyz - . 则 7分

()()

1112,0,3,2,2,3AB BC AC AB ==-=-

8

111111

cos ,449409221

AB BC AB BC AB BC ?∴=

=

=++?++

∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是

5221

221

（3）设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则

()()10,2,3,2,0,0AC AB == 1

230

20

AC n y z AB n x ??=+=?∴??==?? 令3y =- ，则2z = ()0,3,2n ∴=- 12分

1613

13

13

AB n n

?∴

=

=

∴点1B 到平面1ABC 的距离是

613

3、如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作

BC 边的平行线，分别交AB ，AC 于11,B C ．将11AB C ?沿11B C 折起到111A B C ?的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M ．求 （Ⅰ）二面角111A B C M --的大小；

（Ⅱ）异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值大小 解：（Ⅰ）连接AM ，1A G

∵Ｇ是正三角形ABC 的中心．且Ｍ为ＢC 的中点， ∴Ａ，Ｇ，Ｍ三点共线，AM ⊥BC ． ∵11B C ∥BC ，

∴11B C ⊥AM 于Ｇ，即GM ⊥11B C ，1GA ⊥11B C ， ∴1A GM ∠是二面角111A B C M --的平面角． ∵点1A 在平面11BB C C 上的射影为Ｍ， ∴1A M MG ⊥，190A MG ∠=?．

在Rt 1A MG ?中，由12A G AG GM ==得1

60AGM ∠=?，即二面角111A B C M --的大小是60?．

(Ⅱ)过1B 作1C C 的平行线交BC 于Ｐ，则11A B P ∠ …… 此处隐藏：10009字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……