高考数学一轮单元复习：第31讲 平面向量的概念及其线性运算

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│平面向量的概念及其线性运算

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│知识梳理 知识梳理1.向量的有关概念 . (1)向量的定义：既有大小 又有方向的量叫做向量. 向量的定义： 的量叫做向量. 向量的定义 (2)表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的 长度 表示方法： 表示方法 用有向线段来表示向量. 表示向量的大小， 表示向量的方向， 表示向量的大小 ， 用 箭头所指的方向 表示向量的方向 ， 用 字母a, , 表示. 字母 ，b,…或用 …表示. (3)模：向量的长度 叫向量的模，记作 或 叫向量的模，记作|a|或 . 模 (4)零向量 ： 长度为 零 的向量叫做零向量 ， 记作 ， 零向 零向量： 的向量叫做零向量， 记作0, 零向量 量的方向不确定. 量的方向不确定.

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│知识梳理个长度单位 (5) 单位向量 ： 长度为 1个长度单位 的向量叫做单位向 单位向量： 量. (6)共线向量 ： 共线向量： 的向量叫共线向量， 方向相同或相反 的向量叫共线向量， 共线 向量也叫平行向量，规定零向量与任何向量共线. 向量也叫平行向量，规定零向量与任何向量共线. (7)相等的向量： 相等的向量： 长度相等且方向相同的 向量叫相等的向 量. 2.向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)法则：三角形法则，平行四边形法则. 法则：三角形法则，平行四边形法则. (3)运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c). 运算律：

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│知识梳理3.向量的减法 (1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. (2)法则：三角形法则，平行四边形法则. 法则：三角形法则，平行四边形法则. 4.实数与向量的积 (1)定义：实数λ与向量 a的积是一个向量， 记作λa,规定： 定义： 的积是一个向量， 规定： |λa|= |λ||a|, 当 λ> 0时， λa的方向与a的方向 相同；当 λ<0时， λa的方向与a的方向 相反；当λ=0时，λa与a平行. 平行. (2)运算律：λ(µa)=(λµ)a, 运算律： (λ+µ)a=λa+µa, λ(a+b)=λa+λb. 5.向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有 向量共线定理： λa(a≠0). b= 且仅有一个实数λ,使得b=λa,即b∥a

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│要点探究 要点探究探究点1 探究点1 向量的有关概念

判断下列各命题是否正确： 例1 判断下列各命题是否正确： (1)零向量没有方向； 零向量没有方向； 零向量没有方向 (2)若|a|=|b| ,则a=b; 若 = 则 ； (3)单位向量都相等； 单位向量都相等； 单位向量都相等 (4)向量就是有向线段； 向量就是有向线段； 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点，则终点也相同； 两相等向

量若共起点， 两相等向量若共起点 则终点也相同； (6)若 a=b,b=c 则a=c; 若 = , = = ; (7)若a∥b,b∥c,则a∥c; 若 ∥ , ∥ , ∥ ;

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│要点探究(8)若四边形 若四边形ABCD是平行四边形，则 是平行四边形， 若四边形 是平行四边形 (9)a=b的充要条件是 =|b|且a∥b. 的充要条件是|a|= 且 ∥ = 的充要条件是 思路】 正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据， 【思路】 正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据， 或通过举反例说明. 或通过举反例说明. 不正确， 不正确， 【解答】 (1)不正确，零向量方向任意；(2)不正确，只能说 解答】 不正确 零向量方向任意； 不正确 明模相等，还有方向； 不正确 单位向量的模为1, 不正确， 明模相等， 还有方向 ； (3)不正确，单位向量的模为 ， 方向很 不正确， 正确； 多 ； (4)不正确 ， 有向线段是向量的一种表示形式 ； (5)正确 ； 不正确 有向线段是向量的一种表示形式； 正确 (6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若 =0,则对不共 正确， 不正确， 正确 向量相等有传递性； 不正确 因若b= , 线的向量a, 也有 也有a∥ , ∥ ; 线的向量 ，c也有 ∥0,0∥c;

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│要点探究

(8)不正确，如图 不正确， (9) 不正确 ， 当 a∥b , 且方向相反时 ， 即使 |a| = |b| , 也不 不正确， 且方向相反时， 能得到a=b; 点评】 对于有关向量基本概念的考查， 【点评】 对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的含 义入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题. 义入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题.

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│要点探究探究点2 探究点2 向量的线性运算

例2 [ 2009·湖南卷 如图31-1所示，D,E,F分别是 湖南卷] 如图 - 所示， , , 分别是 湖南卷 所示 的边AB, , 的中点 的中点， ( ) △ABC的边 ，BC,CA的中点，则 的边

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│要点探究【思路】 利用相等向量和三角形法则进行计算. 思路】 利用相等向量和三角形法则进行计算. 解析】 【解析】 A 得 ∵ 故选A. 故选 点评】 【点评】 利用中位线的性质得到相等向量和相反向量是解题 关键.向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则， 关键.向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则，如 下题： 下题： ∴ 或

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│要点探究所在平面内的一点， 变式题 [2009·山东卷] 设P是△ABC所在平面内的一点， ( ) 则

思路】 由图形可知： 为 中点 中点. 【思路】 由图形可知：P为AC中点. 解析】 【解析】 B 因为 中点，所以应该选B. 中点，所以应该选 所以点P为线段 的 所以点 为线段AC的 为线段

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│要点探究探究点3 探究点3

共线向量定理的应用

例3 设两个非零向量a与b不共线， 设两个非零向量 与 不共线， 不共线 (1)若 若 求证： 、 、 三点共线 三点共线； 求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数 ，使ka+b和a+kb共线. 试确定实数k, 共线. 试确定实数 + 和 + 共线 思路】 可证 【思路】 (1)可证 共线. 待定系数法求 待定系数法求k. 共线.(2)待定系数法求

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│要点探究解答】 证明 证明： 【解答】 (1)证明：

共线， ∴ 共线， 它们有公共点B, 又∵它们有公共点 ， 三点共线. ∴A、B、D三点共线. 、 、 三点共线

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│要点探究(2)∵ ∵ 共线， 与 共线， 存在实数λ, ∴存在实数 ，使 即 ∴ 是不共线的两个非零向量， ∵ 是不共线的两个非零向量， ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0. - = - = , = ∴k=±1. = 点评】 【 点评 】 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个 公共点. 是两个不共线的非零向量， 公共点.若 是两个不共线的非零向量，则 的充要条件是λ= = 这一结论结合待定系数法应用非常广 的充要条件是 =µ=0.这一结论结合待定系数法应用非常广 泛.

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│要点探究变式题 若 是两个不共线的非零向量， 是两个不共线的非零向量， 与 起点

相同， 为何值时， 相同，则当t为何值时， 同一条直线上？ 同一条直线上？

三向量的终点在

思路】 设出三向量的终点，利用条件列方程组. 【思路】 设出三向量的终点，利用条件列方程组.

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│要点探究【解答】 设 解答】

要使A、B、C三点共线 …… 此处隐藏：2200字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……