《两直线的交点和点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)

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7.3

平面内两直线位置关系(3) -----两条直线的交点和 点到直线的距离

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一、复习回顾：1、到角： 2

l2 1

l1

注： 1 ,2 (0 , ) 且 1 2 .

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已知直线的方程分别为 ：

l1 : y k1x b1 , l2 : y k2 x b2 .设 l1 到 l2 的角为 , 则

2、夹角：

k2 k1 tan 1 k2 k1

( k1k2 1 )

记夹角为 ,则

当直线 l1 l2 时，和l2的夹角是 . l1 2

k2 k1 tan | |. 1 k2k1

两条直线的夹角 的取值范围是 (0 , ] 2 两条直线的到角 的取值范围是 (0 , ) .

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二、讲授新课：设l1 : 3x 4 y 2 0, l2 : 2 x y 2 0 3 x 4 y 2 0 解：方程组 2 x y 2 0 x 2 方程组的解是 y 2 .

l2 l1

y

M O

几何意义 :直线 l1 : 3x 4 y 2 0 与直线 l2 : 2x y 2 0 相交于点 M ( 2 ,) . 2

x

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两条直线的交点：设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0,

l2: A2x+B2 y +C2=0.

A1 x B1 y C1 0 若方程组 有唯一解( x0 , y0 ) A2 x B2 y C2 0

直线l1与l2相交于点( x0 , y0 )

说明：1、若方程组有唯一解，则直线l1与 l2 相交 ； 2、若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合 ； 3、若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行 .

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例1、等腰直角三角形ABC的直角顶点C与顶点B 所在直线为2 x 3 y 6 0, 顶点A(1, 2),求C点坐标。

解： AC BC,且lBC : 2 x 3 y 6 0 设l AC : 3x 2 y m 0

yB

2C 3A

将A点坐标代入得m 7

所以AC方程为： 2 y 7 0 3x30 x 2 x 3 y 6 0 解方程组 得 13 3x 2 y 7 0 y 6 13

0

B

x

30 6 C点坐标为( , ) 13 13

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点到直线的距离问题：已知点P的坐标为(x0, y0),直线l 的方程是 Ax+B y +C=0,怎样求点P到直线l 的距离？

设A 0, B 0设R( xR , y0 ), S ( x0 , yS ) R, S在直线Ax By C 0上 By0 C Ax0 C xR , yS . A B

a

By0 C Ax0 C xR , yS . A B

PR x0 xR

Ax0 By0 C , A

PS y0 yS

Ax0 By0 C , BA2 B2 Ax By C . 0 0 AB

RS PR2 PS 2

从三角形面积公式可知d· ∣RS∣=∣PR∣ ∣PS∣ 所以

d

Ax0 By 0 C A B2 2

易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。

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设P( x0 , y0 ),直线l : Ax By C 0

d

Ax0 By 0 C A2 B 2

例1 求点P0(-1, 2)到下列直线的距离 (1) 2 x+ y -10=0; (2) 3 x=2。

( 解：1) 由点到直线的距离公式，得d 2 ( 1) 2 10 22 12

10 2 5 5

(2) 直线 x 2 平行于 y 轴 ， 3 d | 2 ( 1) | 5 3 3

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例2 求平行直线2x-7y +8=0和2x-7y -

6=0的距离。

解： 在直线 2x 7 y 6 0 上取一点P(3 ,) 0则 P(3 ,) 到直线 2 x 7 y 8 0 0 的距离就是两平行线间的距离 .

y

o

P

x

d

2 3 7 0 8 22 ( 7)2

14 14 53 . 53 53

a

两平行线 l1 : Ax By C1 0 , l2 : Ax By C2 0 之间的距离 d ?在直线 l1 : Ax By C1 0 上任取一点 P( x0 , 0) y 证明：则 P( x0 , 0 ) 到直线 l2 : Ax By C2 0 y 的距离就是两平行线间的距离 .

y

d

Ax0 By0 C2 A2 B 2

o

P

x

Ax0 By0 C1 0 Ax0 By0 C1

| C2 C1 | 注意：两直线的一次项系数完全相同，若不 d A2 B2 同，需变成系数完全相同时才能用。

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例3 与直线 x 2 y 1 0 平行且距离为5 的直线方程。

设与直线x 2 y 1 0平行的直线 l:x 2 y C 0 解：

则由两平行线间的距离 公式，有| C ( 1) | 5 C 1 5 5 12 22 C 5 5 1或C 5 5 1

故所求直线l:x 2 y 5 5 1 0或x 2 y 5 5 1 0

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作业： P54 11,12,13,14,15,16.