方法第一章计算方法概论(2009-2010学年)

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计算方法主讲：廖福成计算方法

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主要参考书：1.张晓丹等， 《应用计算方法教程》 ，机械 工业出版社，2008。 2.杨大地，王开荣， 《数值分析》 ，科学出 版社，2006。 3.关治，陆金甫， 《数值分析基础》 ，高等 教育出版社，1998。 4.关治，陆金甫， 《数值方法》 ，清华大学 出版社，2006。 5.吴勃英， 《数值分析》 高等教育出版社， ， 2007。 6.李庆扬，王能超，易大义， 《数值分析》 ， 华中科技大学出版社，2006，第四版。计算方法

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第一章计算方法概论计算方法又称数值分析， 是计算数学的一个重要组成部 分， 它主要研究来自科学和工程中的数学问题的算法设计与 相关理论．本章首先介绍计算方法的意义、 任务， 其次介绍计算数 学的一些基本概念， 包括算法与效率、 计算机中数的浮点运 算，误差、问题的性态以及算法的数值稳定性等．上述概念 将贯穿到本教程的全部内容中．计算方法

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1.11.1.1引言计算方法的意义计算机的发展极大地扩展了数学的应用范围与能力，使得科 学计算平行于理论分析和科学实验成为人类探索未知领域，研究 现代科学技术的第三种手段．对于理论或实验方法难于完成的研 究，计算机模拟可以大大增强对所研究问题的认识． 科学计算的成败不仅与计算工具的先进性有关，而且与所用 计算方法的效能密切相关，计算方法对于计算速度的提高与增强 计算结果的准确性来说，与计算机硬件同等重要．这就导致了计 算方法研究领域的空前活跃，并形成了一门以原来分散在数学各 分支的计算方法为基础的新的数学分支—计算数学． 一系列与计算 数学相关的边缘学科，如计算力学、计算物理、计算电磁学、计 算化学、计算生物、计算地质与计算经济学等，也都相继出现了．计算方法

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1.1.2 数值计算方法研究的对象与特点数值计算方法：研究适合计算机进行科学计算的方法。使用计算机、离散。用计算机解决科学技术和工程问题的步骤:实际问题建立数学模型算法设计程序设计上机计算求得结果其中算法设计是本课程的主要内容。计算方法又称数值 分析，它研究用计算机解决数学问题的数值算法及其结 论。计算方法

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1.2算法与效率1.2.1 算 法解决某类数学问题的数值方法称为数值算法，它是 求解数学问题的过程的完整准确的描述。为了使算法能 够在计算机上实现，必须将一个数学问题分解成为有限 次的四则运算。计算方法

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算法常具有的基本特征：1、算法常表现为一个无穷过程的截断例1解计算 ln1.7 ．ln x 在 x0 = 1 的幂级数展开为( 1)k + 1 ln x = ∑ ( x 1)k , 0 < x ≤ 2 ， k k =1∞从而( 1)k +1 ln1.7 = ∑ (0.7)k . k k =1∞计算方法

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这是一个无穷级数， 为计算它， 我们必须在适当的地方 “截断” ，使计算量不太大，精度又能满足要求。( 1)k +1 令 Pn ( x ) = ∑ 我们希望对误差限 Tol 确 ( x 1)k ， k k =1n定 n ，使近似值 Pn (1.7 ) 满足ln 1.7 Pn (1.7 ) < Tol .计算方法

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∞ ( 1)k +1 k 由级数理论，交错级数 ∑ (0.7 ) = ∑ ak 的余项满足 k k =1 k =1 ∞ln 1.7 Pn (1.7 ) < an +1 ,当 an +1 < Tol 时，有 ln 1.7 Pn (1.7 ) < Tol ．基于上述讨论，给出如下算法计算方法

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%算法 x=0.7; tol=10^(-5); n=1; p=x; s=0; term=p; t=-1; while abs(term)>=tol n=n+1; t=-t; s=s+t*term; p=p*x; term=p/n; end disp(s); disp(n);计算方法% input 自变量 1.7, % 误差限 Tol = 10 ； % t 用来定义符号。 % abs( x ) 表示 x 的绝对值。 5

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应用此算法求得： n =24, s= 0.530633026589034. (ln(1.7)=0.530628…) 用简化问题的解作为原来问题的近似解， 或构造迭代法 逼近问题的解， 涉及到方法的收敛性问题． 因此构造和分析 此类算法，必须讨论它的收敛性和误差估计．计算方法

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2、算法常表现为一个连续过程的离散化1 例 2. 计算积分 I = ∫ dx 0 1+ x1解、把区间 [0,1] 分成 4 等分，分别计算 4 个小曲边梯形的1 面 积 ， 加 起 来 作 为 积 分 的 近 似 值 。 记 f ( x) = ，取 1+ x f ( xi ) + f ( x i + 1 ) 1 h h = , xi = ih, i = 0,1, 2, 3, 4 ， Ti = 2 4则3 1 I=∫ dx ≈ ∑ Ti = 0.697024 0 1+ x i =0 1而精确值为 0.693147 ，可见精度不高。如进一步划分区间，可 提高精度。计算方法

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%a=0,b=1 a=0;b=1; n=input('输入区间等分数 n (n>0'); h=(b-a)/n; T=0; for i=0:n-1 T=T+(Hanshu_f(a+i*h)+Hanshu_f(a+(i+1)*h))*h/2； end disp(T);%函数 Hanshu_f.mfunction f=f(x); f=1/(1+x)计算方法

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3、算法常表现为“迭代”的形式“迭代”是指一简单算法的多次重复，后一次使用 前一次的结果。这在程序中表现为“循环” ，易于编写 计算机程序。例 3 计算多项式p( x ) = a n x + a n 1 xnn 1++ a1 x + a0的值．计算方法

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解：用 t k 表示 x ， uk 表示 ak x +k k+ a1 x + a0 ，作为初始值，令 t0 = 1 u0 = a0对 k = 1, 2,, n ，反复执行 t k = xt k 1 uk = uk 1 + ak t k (*)易见p( x ) = un式（*）是一个简单算法的多次循环。计算方法

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p( x ) = a n x n + a n 1 x n 1 ++ a1 x + a0此算法程序 % inputx, n, a(1), a( 2), ,n +1, a( n + 1), 这里a(i ) = ai 1 , i = 1,% output u=p(x)t = 1; u = a(1) for i = 1 : n t = x * t; end u = u + a(i + 1)* t;计算方法