用复杂网络理论研究疾病的传播

２００５年１２月重庆师范大学学报（自然科学版）Ｄｅｃ．２００５

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用复杂网络理论研究疾病的传播＋

孙胜秋

（北京交通大学理学院，北京１０００４４）

摘要：概述了用复杂网络的理论来研究两个传染病模型，即ＳＩＲ模型和ＳＩＳ模型，吡及在这两个模型中如何计算疾病的传播闯值。由复杂网络的局部渐近性质——在图中节点的总个数趋于∞时，图具有局部树形结构，可知ＳＩＲ模

型可以用分支过程理论来研究，从而根据母函数的方法可得到一些很好的性质＝而ＳＩＳ模型可以通过平均场的理论

得毗理解，且知不论在度相关Ｓｃａｌｅ—Ｆｒｅｅ网络中还是度不相关Ｓｅｓｌｅ－Ｆｒｅｅ网络中都不存在非零传播阈值。关键词：复杂网络；度分布；渗流；传播阉值

中图分类号：ｍ１１

１２；Ｒ１８１．２＋５文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—６６９３（２００５）０４—０００１—０５

ＳｔｕｄｙｏｆＤｉｓｅａｓｅ

Ｓｐｒｅａｄｉｎｇ－Ｕｓｉｎｇ

ｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＣｏｍｐｌｅｘＮｅｔｗｏｒｋｓ

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ＩＬｅｃｅ／ｔｔｔｏ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｄｅｇｒｅｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｔｈｒｅｓｈｏｌｄ

疾病的传播可看作是一个随机复杂网络，在这里用点代表可能通过传染或感染影响疾病传播行为的个体，如果两个个体之间通过某种方式可能直接发生传染与被传染的关系，就在他们之间连一条边。

ｌ

模型把人划分为３类：易感类（ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ，此类人并未染病但会被传染类个体传染），传染类（ｉｎｆｅｃｔｉｖｅ，此类人已患有疾病并会传染给其他人），康复类（ｒｅ－ｃｏｖｅｒｅｄ，此类人已从疾病中康复过来，并具有免疫力）。ＳＩＲ模型用于研究这３类人的数量随着时间的变化规律。

用Ｓ（ｔ），，（ｔ），Ｒ（ｔ）表示这３类人在某时刻ｔ的数量，ｓ（￡）＝Ｓ（ｔ）／Ｎ，ｉ（￡）＝，（ｔ）／Ⅳ，ｒ（ｔ）＝Ｒ（ｆ）／Ｎ，用口表示单位时间内任意易感类个体被一传染类个体传染的一致概率，ｙ表示单位时间内传染类个体康复并具有免疫力的比率，则此模型可用下列微分方程来描述：

两个传统的传染病模型

先介绍两个传统的传染病模型，此模型被称为

充分混合模型。在此模型中，假定在网络中任意两个节点之间都可能存在传播疾病的边，相当于在完全图上讨论问题”“ｏ。

１．１

ＳＩＲ模型

１９世纪２０年代ＬｏｗｅｌｌＲｅｅｄ和Ｗａｄｅ

Ｈａｍｐｔｏｎ

Ｆｒｏｓｔ…最初构建了ＳＩＲ模型（充分混合模型）。该

＋

收稿日期：２００５ ０９—０５

资助项目：国家自然科学基金重点项目（Ｎｏ１０５３１０７０）

作者简介．剥、胜秋（１９８２一），女，山东临沂』、，硕｛：研究生，研究方向为复杂网络。万　方数据

２

重庆师范大学学报（自然科学版）第２２卷

一ｄｔ

２一胁，面２肛一Ｔｔ，面２Ｔ。

１．２

ＳＩＳ模型

并不是任何疾病其康复者都会对这种病产生免

疫力，一些不能自我控制但能通过药物治疗的疾病，康复的人通常会被病人再次传染上。结核病和淋病是两个大量研究的例子。计算机病毒也属于这种类型（计算机可以通过杀毒软件清除其中的计算机病毒，却抵御不了病毒的再次袭击）。

所谓的ＳＩＳ模型就是携带这种病的人治愈后不是从传染类转到康复类，而是转回到易感类。此模型可用微分方程描述：

老＝巾＋＇ｙｉ，面ｄｉ＝膨一Ｔｉ

在上述２个模型中，虽然给出了疾病传播的基本的动力系统，但在实际生活中是不现实的，因为疾病只能在有实际身体接触的人之间传播，而在上述模型中任意人都有可能被所有病人传染，亦即疾病传播网络中所有结点具有相同的度（结点的度是指它连接边的个数）。在现实世界的疾病传播中，有必要考虑度分布不均匀的情况”１（度分布是指具有某个度的结点出现的概率分布）。近年来文献中有不少关于疾病在任意度分布网络中传播的研究‘８“３。

笔者已经严格证明了在度序列给定的随机图中，有一个渐近局部性质：在图中节点的总个数趋于＊时，随机选择一个点ｙ，距离它小于等于ｍ的所有点形成的导出子图Ｌ（ｙ）无圈。在巨大分支还没出现的情况下，分支的大小都是有限的，结果表明有限分支包含圈的概率是趋于０的，是一个树形结构，所以可用Ｇ—Ｗ分支过程的理论来讨论疾病在任意度分布网络中传播的性质。本文简要介绍如何把传统的疾病传播模型推广为任意度分布网络上的传染过

程。

把传统的ＳＩＲ模型推广到任意度分布网络之上的传染过程，在数学上可以把它看作在同一个网络上的边渗流过程”ｏ。在疾病传播网络中，边以一定概率丁传播疾病相当于边渗流理论中边以一定概率ｒ被占据，从而可以根据渗流模型得到有关传染病的预测情况。比如疾病爆发规模的分布，疾病的传播闽值，以及相变发生后传染病规模的大小。

万　

方数据下面所介绍的这个ＳＩＲ模型，是讨论随机出现

一个病人，在 …… 此处隐藏：8634字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……