11-4 磁场中的高斯定理和安培环路定理

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§11-4 磁场中的高斯定理和安培环路定理一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem magnetic field)

B dS 0 B 0

表示不存在 磁单极微分形式

S B

注意：(1) B dS 0 (2) B dS

对任意闭合曲面而言不一定为0

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例1、两平行载流直导线 求: 两线中点

BA

I1

过图中矩形的磁通量 解：I1、I2在A点的磁场

BAr2

A

I2

lr3

d d 40cm 5 2.0 10 T r2 20cm 5 BA B1 B2 4.0 10 T l 25cm 方向 r1 r3 10cm I1 I 2 20 A

0 I1 B1 B2 2 d 2

r1

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如图取微元

d m B dS Bldr 0 I1 0 I2 B 2 r 2 (d r )方向

BI1r

I2

drr2

lr3

r1 r2

r1

m d m r 1

0 I 1 l r1 r2 0 I 2 l d r1 ln ln 2 r1 2 d r1 r2 2.26 10 6 wb

0 I1 0 I2 [ ]ldr 2 r 2 (d r )

d

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二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证

采用： 以无限长直电流的磁场为例验证推广到任意稳恒电流磁场(从特殊到一般) 1)选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L,其指向 与电流成右旋关系。 I B dl 0 dl cos0 L L 2 r

Ior

0 I 2 r 0

2 r

dl 0 I

L

B

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二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)1. 安培环路定理的表述 恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的

积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。

表达式 B dl 0 I iL i

I n 1

I2

符号规定：穿过回路 L 的电

流方向与 L 的环绕方向服从右手关系的，I 为正，否则为负。

I n kI1

Ii

不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。

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2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 载流长直导线的磁感强 度为

0 I B 2π R

Io

B

dl

R 0 I l l B dl 2π Rdl 0 I l B dl 2π R l dl 设闭合回路 l 为圆形 l B dl 0 I 回路( l 与 I成右螺旋)

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Io

BR

若回路绕向化为逆时针时，则

dll

0 I l B d l 2π

0

2π

d 0 I

d

dl

B

对任意形状的回路

I

rl

l 与 I 成右螺旋

0 I 0 I B dl rd d 2π r 2π B dl 0 Il

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电流在回路之外

0 I 0 I B1 , B2 B2 2π r1 2π r2 B1 0 I d dl B1 dl1 B2 dl2 d 2 dl1 2π I r1 r2 B1 dl1 B2 dl2 0 l B d l 0l

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多电流情况

I1

I2

I3

B B1 B2 B3

B d l 0 (I 2 I3 )l

l

以上结果对任意形状 的闭合电流(伸向无限远 的电流)均成立.n B dl 0 I i i 1

安培环路定理

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安培环路定理

n B dl 0 I i i 1

一闭合路径的积分的值，等于 所包围的各电流的代数和.注意

即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任

0 乘以该闭合路径

I

电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.

L 成右螺旋时，

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B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 ) L

I1 I1L

I2 I 3I1

(I1 I 2) 0问

1) B 是否与回路 L 外电流有关？ 2)若 B d l 0 ,是否回路 L上各处 B 0? L 是否回路 L 内无电流穿过？

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若电流反向： 2 r I 0 B dl dlcos L 0 2 r

Ior

L

B

0 I 2 r 0 dl 0 I 2 r与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为 正，反之为负。 如果规定 与L 绕向成右旋关系 I 0 与L 绕向成左旋关系 I 0

统一为：

L

B dl 0 I

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2)选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径L L

I

d

r

B

dl

I

Ⅹ

d

r

B 2

dl

B dl

L

0 I 0 I B cos dl rd L L 2 r 2

0

d 0 I

若电流反向，则为 0 I

如果规定与L 绕向成右旋关系 I 0 ,反之 I 0 B dl 0 I 统一为：

L

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3)闭合路径不包围电流 B dl B dl B dlL L1 L2

0 I ( d d ) 2 I 0 ( ) 0 2 L1 L2

I

L2

L1

穿过 L 的电流：对 B 和

L B dl 均有贡献 不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；

对

L

B dl 无贡献。

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4)闭合路径不在垂直于电流的平面内

I dl

L dl dl //

B dl

L

oo

B (dl // dl ) L B dl // B dl L L cos 0 B dl // 0

dl //

L

L

0 I ( I穿 过L)0 ( I不 穿 过 ) L

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5)空间存在多个长直电流时I2

I1

I3

B B1 B2 Bn

由磁场叠加原理

LI4 LB dl L ( B1 B2 Bn ) dl B1 dl B2 dl Bn dlL

0

( 穿过L )

I

L

L

i