化一公式的应用

本文从培养学生应用能力的角度,探索“化一公式”的应用。“化一公式”是解决三角函数问题的有力工具,是化繁为简、转化思想的重要体现,在高考及后续学习中有广泛的应用

初探一个三角函数公式的应用

摘要：本文从培养学生应用能力的角度，探索“化一公式”的应用。“化一公式”是解决三角函数问题的有力工具，是化繁为简、转化思想的重要体现，在高考及后续学习中有广泛的应用。

关键词：三角函数、化一公式、应用

一、化一公式

三角函数不仅是高中数学的必修内容，也是进一步学习函数论的基础，在工业生产、社会生活中有着广泛应用。特别是将同角的正余弦函数的线性组合化为正弦函数或者余弦函数的三角函数公式（本文简称：化一公式）是十分重要，它是解决三角函数问题的有力工具，是化繁为简、转化思想的重要体现，有着广泛的应用。同时也是培养学生应用数学知识解决问题能力的有力载体。

化一公式是指如下的三角函数公式：

asinx bcosx a2 b2sin(x ) a2 b2cos(x )，

其中

a2 b2a2 b2

、

完美地融入直角梯形中。

如果ab 0，则公式显然成立。不妨假设ab 0，则 cos sin a，sin cos b， abasinx bcosx a b sinx cosx 2222a b a b 22

a2 b2 cos sinx sin cosx

a2 b2sin(x ),

同理可得

asinx bcosx a2 b2cos(x )。

二、公式的应用

化一公式把含有两个三角函数sinx、cosx的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题，从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。这些问题均是三角函数的基本问题，但学生往往难以掌握。下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。

1、三角函数最值问题

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对于中学生而言，求三角函数的最值是有一定难度的。虽然求函数最值的方法很多，但能巧妙应用化一公式，往往能给人耳目一新的感觉。用化一公式的关键在于把问题转化为“同角的正余弦函数的线性组合”。

例1、求函数

f(x) 2sinx(sinx cosx),x R

的最大值。

这是一道全国高考题。对于该问题，我们首先利用倍角公式，进而用化一公式就可轻松求解，即

2sinx(sinx cosx) 2sin2x 2sinxcosx sin2x cos2x 1 2sin 2x 1。 4

于是，函数的最大值是2 1。

例2、求函数

4 f(x) 3sin x 5sin x ,x R 9 9

的最大值和最小值。

本问题的困难在于不同角，因此，我们首先应用两角和公式化为同角正余弦函数的线性组合，进而用化一公式就可或解，即

4 4 4 3sin x 5sin x 3cos 5cos sinx 3sin 5sin cosx999999

4 4 3cos 5cos 3sin 5sin sin(x ) 99 99

7sin(x )

因此，该函数的最大值和最小值分别是7、-7。

不仅能用化一公式求函数的最值，也能化一公式求参数的值，这时往往需要注意公式中22 、 的意义。

例3、已知函数

f(x) 2sinx acosx 4,x R

的小值为1，求参数a的值。

首先用化一公式得

f(x) 4 asin(x ) 4,x R，tan a。 2

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因函数的最小值是1，即4 4 a 1。因此a 5。

2、三角函数的单调区间

无论在理论上还是在应用领域，函数单调性都是十分重要的。正因如此，它是高考的热点。特别是对三角函数而言，单调性的讨论是比较复杂的，往往需要综合应用各种知识才能求解。但用化一公式求解，往往能起到“奇效”。下面以两道高考题为例，展示化一公式的“化腐朽为神奇”的供效。

例4、求函数

f(x) sinxx cos,x 2 ,2 22

的单调递增区间。

首先用有化一公式将函数简化为

xx x sin cos 2sin 。 22 24

x 3 5 注意到函数的定义域，从而 , 。利用正弦函数的单调性立即可知函数f的单 24 44

调递增区间为 2 , 。 2

例5、求函数

f(x) sin4x 23sinxcosx cos4x,x [0, ]

的单调区间。

这是一个非常复杂的三角函数，直接求其单调区间是十分困难的。但是用化一公式，其神奇功效立即显现。因

sin4x 2sinxcosx cos4x 3sin2x sin2x cos2x 3sin2x cos2x 2sin 2x 。 6

5 利用正弦函数的单调性，立即得到函数f的单调递增区间为 0, ,2 ，单调递减区间 3 6

5 为 , 。 36

3、三角函数的最小正周期

周期现象是一种普遍而重要的自然现象，对于描述周期现象的有力工具之一——三角函数，其最小正周期实际问题中扮演着一个重要角色，例如Fourier级数。因此，如何寻求三角函数的最小正周期无疑是一个十分重要的课题。而化一公式无疑又是解决这个问题的一把

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钥匙。

对于例1中的函数，利用化一公式，我们立即可知该函数的最小正周期为 。类似地，对于另一高考题：求函数y cos2s sinxcosx的最小正周期，也可获知其最小正周期为

4、三角函数图象的对称轴、对称中心及相关问题

在实际问题中，往往只能根据模拟知道函数对称轴或对称中心，而某些参数是不易根据模拟得到。根据函数图像的对称性求某些参数是一个有意义的课题。在工程中，通常是用函数的Fourier级数（三角级数）近似代替，因此，根据三角函数图像的对称性求其参数值无论在理论上还是在实际问题都是十分重要的。下面以两道高考题展示化一公式在这一领域的独特地位。

例6、若函数

f(x) sin2x acos2x,x R 的图像关于直线x

8对称，则参数a的值为多少？

利用化一公式，我们有

sin2x acos2x a2sin(2x ), tan a。

根据题意我们有

3 。 f a2, k 4 8

进而，a 1。对于这个函数，如果图像关于点 ,0 对称，用同样的方法可知a 3。 6

不仅如此，在三家函数图像变化中，也有非常重要的应用。

例7、已知函数

13f(x) cos2x sinxcosx 1,x R。 22

该函数图象可由y sinx,x R的图像经过怎样的平移和伸缩变化得到？

首先利用化一公式可得

1 5f(x) sin 2x ,x R。 2 6 4

进而，该问题就可迎刃而解。

5、解三角方程和三角不等式

方程和不等式是数学的心脏，解方程和解不等式是数学永恒的主题。三角方程是超越方

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程，求解是非常困难的。但若能巧用化一公式，往往能起到“柳暗花明又一村”。 例如求三角方程sinx 3cosx 1 0，利用化一 …… 此处隐藏：1981字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……