4圆锥曲线定点、定值问题

17．（2011佛山一检）已知椭圆C:

，以原点为22

3ab

圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x y 2 0相切，A,B分别是椭圆的左右两

x

2

y

2

1(a b

0)的离心率为e

个顶点，P为椭圆C上的动点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P与A,B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2，证明：k1 k2为定值；

（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若说明轨迹是什么曲线．

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x2 y2 b2，∵直线x y 2 0与圆相切，

∴d

ca

3

OPOM

，求点M的轨迹方程，并

即b b，

又e ，x

2

，

即a 222

，解得a a b c，

c 1， 所以椭圆方程为

3

y

2

2

1．

x0

2

（Ⅱ）设P(x0,y0)(y0 0)，

A(

0)，B0)，则

y

22

2

32

x0

2

y02

2

1，即y0 2

2(3 x0)

2

2

23

x0，

2

则k1 ，k2

23

即k1 k2

x0 3

2

2

x0 3x0 3

23

，

∴k1 k2为定值

．

（Ⅲ）设M(x,y

)，其中x [．

OPOM

2

22

x 2

及点P在椭圆C上可得

2

2

2

2

2

由已知

2

22x y

x

2

x 63(x y)

2

2

2

，

2

整理得(3 1)x 3 y

6，其中x [．

①当

3

y 6，

，轨迹是两条平行于x轴的线段；

2

所以点M

的轨迹方程为y x ②当

3

x

2

2

63

1

y

2

63

2

1，其中x [，

当0

3

时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y

轴上的双曲线满足 x 的

部分；

当

3

1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x

轴上的椭圆满足 x

的

部分；

当 1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD AB，20．（2011福州期末）如图，

Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若

EM 1MB,EN 2NB,求证: 1 2为定值。

解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，

O为原点，建立平面直角坐标系，

∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．

且点Q在曲线C上,∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222 12 25＞|AB|=4．

∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1．∴曲线C的方程为

x

2

5

+y=1

2

（Ⅱ）证法1：设M,N,E点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),E(0,y0)，

又易知B点的坐标为(2,0)．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

∵EM 1MB，∴(x1,y1 y0) 1(2 x1, y1)． ∴ x1 1

2 1

2 11 1) (

2

，y1 y01 1

y01 1

． 将M点坐标代入到椭圆方程中得：

51 1

(

) 1，去分母整理，得 1 10 1 5 5y0 0．

222

22

同理，由EN 2NB可得： 2 10 2 5 5y0 0．

∴ 1， 2是方程x 10x 5 5y0 0的两个根，∴ 1 2 10．

22

（Ⅱ）证法2：设M,N,E点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),E(0,y0)，又易知B点的

坐标为(2,0)．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y k(x 2)． 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

(1 5k)x 20kx 20k

2

2

2

2

5 0． ∴ x1 x2

20k

22

1 5k

，x1x2

x12 x1

20k

2

5

2

1 5k

．

又∵EM 1MB，则(x1,y1 y0) 1(2 x1, y1)．∴ 1

同理，由EN 2NB，∴ 2

x22 x2

，

．

∴ 1 2

x12 x1

x22 x2

2(x1 x2) 2x1x24 2(x1 x2) x1x2

2

10．

21.（ 2011广东广雅中学期末）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点

M(2,t) (t 0) 在直线x

a

c

上。 (a为长半轴，c为半焦距）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以OM为直径且被直线3x 4y 5 0截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。 【解析】（1）又由点M在x

a

2

c

上，得(a为长半轴，c为半焦距）

2

2

a

2

c

2 故

1 cc

2

2，

c

1从而a 所以椭圆方程为

x

2

y 1 或

2

y

2

x 1

2

2

（2）以OM为直径的圆的方程为x(x 2) y(y t) 0 即(x 1) (y

2

t2

)

2

t

4

1

其圆心为(1,),

半径r

2

t 因为以OM为直径的圆被直线3x 4y 5 0截得的弦

长为2 所以圆心到直线3x 4y 5

0的距离d

t2

所以

3 2t 5

5

t2

22

，解得t 4所求圆的方程为(x 1) (y 2) 5

（3）方法一：由平几知：ON

2

OKOM

t y x t24 2

直线OM：y x，直线FN：y (x 1) 由 得xK 2

2tt

4 y 2(x 1)

t

2

ON (1

t

)

4

2

2

所以线段ON

4t 4

2 2

FN (x0 1,y0),OM (2,t)

方法二、设N(x0,y0)，则

MN (x0 2,y0 t),ON (x0,y0)

FN OM, 2(x0 1) ty0 0, 2x0 ty0 2 ……………12分

又 MN ON, x0(x0 2) y0(y0 t) 0, x02 y02 2x0 ty0 2

所以，ON

30．（2011哈尔滨期末）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P 1,

12

3

且2

离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l:y kx m与椭圆C相交A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 解：（1）椭圆的标准方程为

x

2

4

y

2

3

1

y kx m

2（2）设A x1,y1 ,B x2,y2 ， x2得:3 4k2x2 8kmx 4m2 3 0 y

1

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