数字信号处理总结

仅供参考 北理工 信息工程

数字信号处理课程总结

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目录

课程回顾和评价

1. 离散时间信号和系统分析基础 3 2. 离散傅里叶变换（从需求到实现） 6 3. 三种卷积之间的关系。 4. 三种卷积定理 10 5. Matlab仿真及DFT性质 12 6. 18 7. 复合基与分裂基 23 8. 25 9. 10. 11. 12. 13.

FFT z变换比较27

数字滤波器的结构 31 常用低通模拟滤波器 40 脉冲响应不变变换法和双线性变换法 46

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14. 15.

线性相位FIR的性质和特点 49 FIR滤波器的设计方法 50

这门课程的具体内容是对于数字信号的分析和净化，对应的是前四章的数字傅里叶变换和第五章的数字滤波器。

将模拟信号转化为数字信号,首先将连续信号转换为离散信号。

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第一讲 离散时间信号和系统分析基础

主讲人：张俭伟

在第一讲中，主讲人张俭伟同学，主题是第二章的离散时间信号和系统分析基础。四种变换之间的联系和区别。连续时间傅里叶变换，拉普拉斯变换，离散时间傅里叶变换和z变换之间的区别和联系。前面老师也快速讲了一遍四种变换之间的联系。

一、连续时间傅里叶变换和拉氏变换: 连续时间傅里叶变换对：

( ω)=∫

+∞

( ) ω

∞

1+∞

( )=∫

∞

拉式变换对：

(

∞

1(

=

σ=0时，两对公式相等。也就是连续e σt之后

z变换比较：

+∞

( )=∑ [ ] [ ]=

= ∞

1

∫ ( ) 2

和

+∞

( )=∑ [ ] [ ]=

= ∞

1

∮ ( ) 1 4

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=

分析结果和（1）类似

离散信号的z变换的结果在单位圆上即r=1的值就是其傅氏变换的结果。Z变换比傅氏变换的结果适用范围更广。

三、经过采样后信号分析

所以 (

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所以可以得出一个连续时间信号在时域上进行等间隔抽样，会在频域和s域上分别进行周期延拓并乘以 1

（n ( )比较。

+∞

( Ω)=∑ ( ) Ω

= ∞

对于x（n）

∞

( )=∑ ( )

=0

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+∞

( )=∑ [ ]

= ∞

+∞

( )=∑ [ ]

= ∞

( Ω)和 ( )的右边的值相等，当z=esT可以发现 通过对比可以发现当Ω=ωT， ( ) 和 ( )

半径： = 幅角： = =2

所以z平面半径为r的圆对应的是垂直于σ轴的直线。

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在之后滤波器设计中会利用到映射关系。

四种变换可以用下表表示。

ω和Ω没有区分开。对

什么?

所以对离散信号的分析是非常重要的。由第一讲可知，对于连续时间信号在时域上采样，在频域上会发生周期延拓。因此接着在频域上采样,使信号在频域上也离散化是否会类似导致时域上的周期延拓呢？可以进行一系列的推导。

（1）对列长为N的离散时间信号进行采样。

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2 I

类比与时域上采样信号P(t)在频域上有有

p ( )

k

( k ) Ce

I

m

m

jm

其中

采样间隔 I

2 M

M为一个周期上采点个数。由傅里叶级数的定义可得

I

2

jm

2

结果符合预期，在时域上确实是对x(n)以M的周期延拓。周期延拓的过程中就可能出现混叠。使信号无法恢复为原来的信号。因此对于序列长度为N的x(n)在,频域上一个周期的采样点数M，应当有M>N，不发生混叠。

由上面可以发现，两个域，时域和频域，一个域上离散，另一个域上必定上周期的。

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所以，要想满足有限长和离散两个条件是不可能。 （2）DFS

对这个信号进一步分析。

对于（1）得到的令M=N。即对DTFT的结果进行频域抽样，便得到了离散傅里叶级数（DFS）对

要注意的是DFT和DFS的结果不同在于。DFT处理的是周期序列主值区间，DFS处理的是周期序列。但是DFT具有隐含的周期性

（4）DFS与DTFT及Z变换的关系

由（3）可以得出DFS处理的是频域抽样的离散信号，所以可以由一个离散信号的DTFT进行抽样的结果。

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DFS与Z变换直接关系，和DTFT的关系类似，是在一个离散信号在单位圆上的等间隔采样的结果。可以由第一讲中的映射关系得出。

本讲内容的感悟：

由于之前信号与系统课程忘了很多，再加上没有很好地预习，上课时候广豪同学比较混乱的板书，让我没有在课堂没有听得很明白，尤其是在黑板上大规模的板书，没有信心听下去。杨一丁和游广豪同学的讲课逻辑连贯性很强，还是引人入胜。之后随着游广豪同学修改了课件之后，以及后面的不断提及对这些DFS,DFT,DTFT第三讲

通过以往信号与系统的学习，

线性卷积来自于傅里叶变换（DTFT）, 定义：设有限长序列x1(n)和x2(n)那么他们卷积的结果：

x3(n) x1(n)

2(n m)

的离散序列

:两个周期相等的周期序列的卷积,x 1(n)和x 2(n)周期都为N，则

N 1

x3(n) x1 x2(n) x1(m)x2(n m)

m 0

圆周卷积的来自于DFT:两个序列离散傅里叶变换的乘积等于此两序列的圆周卷积的离散傅里叶变换。

X3( )=X1( )X2( )

则

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1

3(n)= (X3( ))=∑ 1(n) 2((n m)) (n)

=0

以下是三种之间的对比和关系。 线性卷积

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3(n)

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周期卷积和圆周卷积：

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3(n)

5的周期序列

方框内的是圆周卷积的过程和结果，可以发现，圆周卷积的过程中，相乘求和的过程中 2(n) 不断的移位，就像是在圆周上进行一样旋转一样，可以得知圆周卷积的名称由来。

三者之间的关系：

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可以类比DTFT,DFS,DFT三者之间的关系可以得到。

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