用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第②步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果

一．洛必达法则

若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：

(1) limf x 0 及limg x 0；

x a

x a

(2) f x 与g x 可导且g x 0；

f x f x f x

l， 那么 lim l (3)lim=lim

x ag xx agxx ag x利用洛必达法则求极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则,若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止

二．高考题处理

1.(2010年全国新课标卷理第21题)设函数f(x) ex 1 x ax2

（1） 若a 0，求f(x)的单调区间； （2） 若当x 0时f(x) 0，求a的取值范围 原解：（1）a 0时，f(x) ex 1 x，f'(x) ex 1.

当x ( ,0)时，f'(x) 0；当x (0, )时，f'(x) 0.故f(x)在( ,0)单调递减，在(0, )单调递增

（II）f'(x) ex 1 2ax由（I）知ex 1 x，当且仅当x 0时等号成立. 故f'(x) x 2ax (1 2a)x， 从而当1 2a 0，即a

1

时，f'(x) 0 (x 0)，而f(0) 0， 2

于是当x 0时，f(x) 0.由ex 1 x(x 0)可得e x 1 x(x 0).

从而当a

1

时，f'(x) ex 1 2a(e x 1) e x(ex 1)(ex 2a)， 2

0)0 ，故当x (0,ln2a)时，f'(x) 0，而f(于是当x (0,ln2a)时，f(x) 0.

1

综合得a的取值范围为 ,

2

原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当x 0时，f(x) 0，对任意实数a,均在f(x) 0； 当x 0时，f(x) 0等价于a

x

x

x 1

2

x

x 1x

令g x (x>0),则g (x) x

2x

x

x

x

2 x 2

x

3

，

x

x

令h x xe 2e x 2 x 0 ，则h x xe e 1，h x xe 0， 知h x 在 0, 上为增函数，知h x 在 0, 上为增函数，h x h 0 0；

x

h x h 0 0； g x 0，g(x)在 0, 上为增函数。 由洛必达法则知，limx 0

x

x 1

x

2

11

lim lim ， 故a

22x 0 2xx 0 2

xx

1

综上，知a的取值范围为 ,

2

2．（2011年全国新课标理第21题）已知函数，曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x 2y 3 0 （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x 0，且x 1时，f(x)

lnxk

，求k的取值范围 x 1x

(

原解：（Ⅰ）f'(x)

x 1

lnx)

b 22

(x 1)x

f(1) 1,

1

由于直线x 2y 3 0的斜率为 ，且过点(1,1)，故 1即

2f'(1) , 2

b 1, a1 b , 22

解得a 1，b 1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)

lnx1

，所以 x 1x

lnxk1(k 1)(x2 1)

f(x) ( (2lnx

x 1x1 x2x

(k 1)(x2 1)(k 1)(x2 1) 2x

(x 0)，则h'(x) 考虑函数h(x) 2lnx

x2xk(x2 1) (x 1)2

（i）设k 0，由h'(x) 知，当x 1时，h'(x) 0，h（x）递减。2

x

而h(1) 0故当x (0,1)时， h(x) 0，可得

1

h(x) 0； 2

1 x1

当x （1，+ ）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 2

1 xlnxklnxk

从而当x>0,且x 1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

x 1xx 1x

（ii）设0<k<1.由于(k 1)(x2 1) 2x=(k 1)x2 2x k 1的图像开口向下，且

4 4(k 1)2 0，对称轴x=

11

1当x （1，）时，（k-1）（x2 +1）1 k1 k.

1

+2x>0,故h' （x）>0,而h（1）=0，故当x （1）时，h（x）>0，

1 k

1

可得h（x）<0,与题设矛盾。

1 x2

（iii）设k 1.此时x2 1 2x，(k 1)(x2 1) 2x 0 h'（x）>0,而h（1）=0，

1

h（x）<0,与题设矛盾 1 x2

综合得，k的取值范围为（- ，0]

原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：

2xlnx

1恒成立 另解：（II）由题设可得，当x 0,x 1时，k<2

1 x

故当x （1，+ ）时，h（x）>0，可得

x2 1lnx x2 12xlnx

1(x 0,x 1),则g x 2 令g (x)= ， 2221 x1 x

1

，x再令h x x2 1 lnx x2 1(x 0,x 1)，则h x 2xlnx

h x 2lnx 1

11

hx 2lnx 1 ，易知在 0, 上为增函数，且

x2x2

h 1 0；故当x (0,1)时，h x 0，当x （1，+ ）时，h x 0； h x 在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数；故h x >h 1 =0 h x 在 0, 上为增函数

h 1 =0

当x (0,1)时，h x 0，当x （1，+ ）时，h x 0 当x (0,1)时，g x 0，当x （1，+ ）时，g x 0

g x 在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数

由洛必达法则知

limg x 2lim

x 1

x 1

xlnx1 lnx 1

1 2 1 2 1 0 lim 2x1 x2 2 x 1

k 0，即k的取值范围为（- ，0]

规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但

有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法

3．（2010年全国卷2数学理第22题）设函数f x 1 e x （Ⅰ）证明：当x＞-1时，f x （Ⅱ）设当x 0时，f x

x

； x 1

x

，求a的取值范围． ax 1

x

原解：（I）当x 1时，f(x) 当且仅当ex 1 x.

x 1

令g(x) ex x 1.则g'(x) ex 1.当x 0时g'(x) 0，g(x)在 0, 是增函数；

当x 0时g'(x) 0,g(x)在 ,0 是减函数。于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x R时，g(x) g(0),即ex 1 x. 所以当x 1时,f(x)

x. x 1

（II）由题设x 0,此时f(x) 0.

1xx

0,f(x) 当a 0时,若x ,则不成立；

aax 1ax 1

x

当a 时,令h(x) axf(x) f(x) x,则f(x) 当且令当h(x) 0.

ax 1

h'(x) af(x) af'(x) f'(x) 1 af(x) axf(x) ax f(x).

（i）当0 a

1

时，由（I）知x (x 1)f(x), 2

h'(x) af(x) axf(x) a(x 1)f(x) f(x) (2a 1)f(x) 0,

h(x)在 0, 是减函数，h(x) h(0) 0,即f(x) （ii）当a

1

时，由（I）知x f(x). 2

x. ax 1

h'(x) af(x) axf(x) ax f(x) af(x) axf(x) af(x) f(x) (2a 1 ax)f(x).

2a 1x

. 时，h'(x) 0,所以h(x) h(0) 0,即f(x)

aax 1

1

综上，a的取值范围是[0,].

2

原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II）证明：

1x

0； 当a 0时，令ax 1 0，则x ，从而

aax 1

当0 x

另一方面当x 0时，f(x) 1 e x 0这与已知当时当x 0时，f x 盾

x

矛ax 1

(ax 1)(ex 1) xex

0则(ax 1)(ex 1) xex 0 a 0则(ax 1)f(x) x x

e

xxxe e 1xxx

a a(xe x) xe e 1，当x=0时，此式成立；当x 0时…… 此处隐藏：2273字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……