高等数学同济第六版上_答案解析第八章(2)

D

x2+y2dxdy，其中D：x2+y2≤2y.

解：（1）由于积分区域D

=(r,θ)0≤r≤2,0≤θ≤2π，所以

{}

∫∫1+x2+y

D

1

=∫∫2

D

1

rdrdθ1+r2

=∫dθ∫

2π

112π

ln5dθ=πln5. =∫001+r22

2

（2）由于积分区域D=(r,θ)0≤r≤a,0≤θ≤2π，所以

{}

∫∫

D

a2 x2

y2dxdy=∫∫

rdrdθ=∫0dθ∫0rdr

D

a

2πa

12π22232

= ∫(a r)2dθ=πa3.

20330

（3）由于积分区域D=(r,θ)0≤r≤R,0≤θ≤2π，所以

{}

∫∫e

D

x2 y2

dxdy=∫∫e

D

r2

rdrdθ=∫dθ∫e r rdr

2πR

2

=

R12πr2R R2 r22dedrθ=π[ e]=π(1 e) 0∫0

2∫0

（4）由于积分区域D=(r,θ)0≤r≤2sinθ,0≤θ≤π，所以

{}

∫∫

D

x2+y2dxdy=∫∫r rdrdθ=∫dθ∫

D

π2sinθ

00

r2dr=

328π3

. =sinθdθ93∫0

《自测题8（部分）习题参考答案》

一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.二元函数z=arcsin(1 y)+ln(x y)的定义域为2.已知z=lnsin(2x y),则

z

= x

3.设z=lnx+y,则dz(2,2)= 4.设z=ex 2y,而x=sint,y=t3,则5.设ln

dz

= dt

(

22

)

zy z

=,则= xz yxy 1xy+1

6. lim

x→1x→1

7.二元函数z=5 x y的极大值点是 8.二重积分

22

0≤x≤10≤y≤1

∫∫xydxdy=y

，则fx′(1,0)=x

9.f(x,y)=xy+(x 1)sin3

10.

1

= 222∫∫(x+y)x2+y2≤1

解：（1）(x,y)x>y,0≤y≤2 （2）

{}

z

=2cot(2x y) （3）dz x

(2,2)

1

=(dx+dy). 2

（4）

3zdz z

==esint 2t(cost 6t2) （5） （6）0 yy+zdt

（7）(0,0) （8）

1

（9）0 （10）3π. 4

二、选择题（本大题共5个小题，每小题2分，共10分）

x2+y2

1.设f(x,y)=，则下式中正确的是（ ）

xy

(A)f(x, y)=f(x,y) (B)f(x+y,x y)=f(x,y) y

(C)f(y,x)=f(x,y) （D)f x, =f(x,y)

x f f

2.已知f(x+y,x y)=x2 y2则+=（ ）；

x y

（A）2x+2y （B）2x 2y （C）x+y （D）x y ； 3.点（0，0）是函数z=xy的（ ）

（A）极大值点 (B) 极小值点 （C）非驻点 (D)驻点 4.函数z=2x2 y2的极值点为（ ）.

（A）（0，0） （B）（0，1） （C）（1，0） （D）不存在

xy22

x2+y2,x+y≠0,

在（0，0）处（ ）. 5. f(x,y)=

0,x2+y2=0.

（A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在

1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 三、计算题（本大题共7小题，每小题7，共49分）

1. 设z=x 2xy+3y在点（1，2）处的偏导数

2

3

z x

，

(1,2)

z y

(1,2)

2.z=

e

x

2zx

sin，求

y x y

x2+y2

(2,)1

π

3.设z=e

，（1）求dz； （2）求dz|(1,2)

4.设z=f(x,)，求

yx z z，. x y

2z

. 5. z 3xyz=a，求

x y

3

3

6.设z=uv uv,u=xsiny,v=xcosy, 求7.计算

22

z z, x y

∫∫(y+x

D

2

)dσ，D是由y=x2与y2=x所围成的平面区域.

解：（1）由于

z z z

= 2x+9y2，所以=2x 2y， y x x

= 2，

(1,2)

z

y

=34

(1,2)

（2）由于

x1 xx z1xx x

= esin+ecos=e x(cos sin，

yyy xyyy

xxxxx1 2z 2zπ2 x

=e( 2cos+3sin+2cos)，所以=.

yyyyy x y x y(2,1)e2y

π

z

=（3）由于 x

所以dz

e

x2+y2

z，=22 xx+yx1x2+y2

e

x2+y2

2

yx+y

2

=e

x2+y2

(xdx+ydy)；dz|(1,2)=

15

e5(dx+2dy)

（4）

z z1'y

=f1' 2f2'， =f2 x yxx

3

2

（5）令F(x,y,z)=z 3xyz a

则Fx= 3yz，Fy= 3xz，Fz=3z 3xy，

'''2

Fy'Fx'yz z zyz

= '=2= '=2，，

xFzz xy yFzz xy z 2z

=()= x y y x

(z+y=

（6）

(z+y

z2 zz xy) yz(2z x) y y

22

(z xy)

yzyz2

zxyyzz)( ) (2 x)

z(z4 2xyz2 x2y2)z2 xyz2 xy

. =

(z2 xy)2(z2 xy)3

z z u z v

=+=(2uv v2)siny+(u2 2uv)cosy x u x v x

2

2

2

2

2

=(2xsinycosy xcosy)siny+(xsiny 2xsinycosy)cosy =3xsinycosy(siny cosy)

2

z z u z v=+=(2uv v2)xcosy (u2 2uv)xsiny y u y v y

=2xsinycosy xcosy xsiny+2xsinycosy =2xsinycosy(siny+cosy) x(siny+cosy)(1 sinycosy) =x(siny+cosy)(sin2y 1+sin =x(siny+cosy)(sin2y 1).

（7）由于积分区域D=(x,y)0≤x≤1,x≤y≤

333

3

3

3

3

3

3

3

2

1

2y) 2

{

10

32

2

x，所以

y∫∫(y+x)dσ=∫dx∫

D

1

5

2

x

2

x

(y+

x2)dy=∫

1

y2

(+x2y)dx 2y=x2

xx4332

=∫(+x x4)dx=

022140

四、应用题（本大题共2小题，每小题8，共16分）

1.计算曲线y=x，y=sinx，x=π所围成的平面图形的面积.

1

2

12

2.设生产函数和成本函数分别为Q=4K，C=2K+8L

其中K,L为投入的两种生产要素，当产量Q0=64时，求最低成本的投入组合及最低成本. 解： 1.因曲线y=x，y=sinx，x=π所围成的区域D=(x,y)0≤x≤π,sinx≤y≤x

所以曲线y=x，y=sinx，x=π所围成的平面图形的面积

π

x

{}

A=∫dx∫

sinx

dy=

∫

π

(x sinx)dx=

1

2

π2

2

12

2

2.本题为求函数C=2K+8L在64=4KL的条件下的最小值问题， 令F(L,K,λ)=2K+8L+λ(4KL 64)

11

22

FL=8+2λKL=0

11

FK=2+2λK2L2=0 11

Fλ=4K2L2 64=0

1

212

解得L=8,K=32，又由于实际问题一定存在最小值，故当L=8,K=32时成本最低，最低成本为C=128.