高等数学同济第六版上_答案解析第八章

《第8章（部分）习题参考答案》

1. 求下列函数的定义域： (1) z=(3) z=

+y (2) z=ln(x+y) R2 x2 y2 z2+x2+y2+z2 r2

解：（1）要使函数有意义，只需x≥0，故该函数的定义域为(x,y)x≥0, ∞<y<+∞；（2）要使函数有意义，只需x+y>0，故该函数的定义域为{(x,y)x+y>0}；

{}

x2+y2≥r2

， （3）要使函数有意义，只需 2

22

x+y≤R

故该函数的定义域为(x,y)r≤x+y≤R2.求下列各极限

{

222

}.

1 xyy（1）lim （2）lim

(x,y)→(0,1)x2+2y2(x,y)→（3）

sinxy (4) lim(x,y)→(x,y)→(0,1)xlim

1 xy1=;

(x,y)→(0,1)x2+2y22limy解：（1）

（2）

(x,y)→lim

=

ln2

=ln2; 1

（3）

sinxyxy

=lim=limy=1;

(x,y)→(0,1)(x,y)→(0,1)x(x,y)→(0,1)xlim

(x,y)→（4）

lim

=lim+1)=2.

(x,y)→(0,0)

3.求下列函数的偏导数： (1) z

=x3+y3 3xy2 (2) z=x2yey

xyz

(3) z=xln(x+y) (4) w=e解：（1）

z z

=3x2 3y2，=3y2 6xy x y

（2）

z z

=2xyey，=x2ey+x2yey x yxx z z

， =ln(x+y)+=

xx+y yx+y w w w=yzexyz，=xzexyz，=xyexyz x y z

（3）

（4）

4. 求下列函数的全微分： (1) z(3) u

=ln(x2+y2) (2) u=x2+y2+z2=ln(x2+y2+z2) (4) z=arctan(xy)

2x2y z z

，， =2=222

xx+y yx+y

解：（1）由于

所以dz=

2

(xdx+ydy) 22

x+y

xx+y+z

1x+y+z

2

2

2

2

2

2

（2）由于

u= x

，

u= y

yx+y+z

2

2

2

，

u= z

zx+y+z

2

2

2

所以du=(xdx+ydy+zdz)

（3）由于

u u2x2y u2z=2==，， 22222222 xx+y+z yx+y+z zx+y+z

2

(xdx+ydy+zdz)

x2+y2+z2

所以du=

（4）由于

zy zx==，， 2222 x1+xy y1+xy

1

(ydx+xdy)

1+x2y2

所以dz=

5. 设z

=u2lnv,u=

z zx

,v=3x 2y，求, . y x y

z z u z v12x3x221=+解： ， =(2ulnv)(+(u 3=2ln(3x 2y)+2

yy(3x 2y) x u x v xyv

z z u z vx1=+=(2ulnv)( 2+(u2)( 2) y u y v yvy2x22x2

= 3ln(3x 2y) 2

yy(3x 2y)

z z3y2

6. 设z=+ (xy), 为可微的函数，求证：x2 xy+y2=0.

x y22x

y2 z zy

证明：= 2+y '，=+x '，于是

2x x yx

3 z32 zy2y2

x xy+y=x( 2+y ') xy(+x ')+y2=0

y2 x2x2x

2

7. 设x+y+z+xyz=6，求

3

3

3

333

z z

,. x y

解：令F(x,y,z)=x+y+z+xyz 6

则Fx=3x+yz，Fy=3y+xz，Fz=3z+xy，

'

2

'

2

'

2

Fy'Fx' z3x2+yz z3y2+xz= '= 2= '= 2，

x3z+xy yFz3z+xyFz

8.设x

2

+y2+2x 2yz=ez,求

2

2

z z

,. x y

z

解：令F(x,y,z)=x+y+2x 2yz e

则Fx=2x+2，Fy=2y 2z，Fz= 2y e，

'

'

'

z

Fy'2y 2zFx'2x+2 z z

= '== '=，

xFz2y+ez yFz2y+ez

2z9. 设e xyz=0,求

x y

z

解：令F(x,y,z)=e xyz

则Fx= yz，Fy= xz，Fz=e xy，

'

'

'

z

z

Fy'Fx' zyz zyz

= '=z= '=z，。

xFze xy yFze xy

2z z

=()= x y y x

(z+y

zz z)(e xy) yz(ez x) x y

z2

(e xy)

(z+y=

yzyzzz

)(e xy) yz(e x)zz

e xye xy

(ez xy)2

(zez xyz+y2z)(ez xy) yz(yzez xez+x2y)x2y2z

= =3.z3z(e xy)(e xy)

10.设z解：z′x

′′′′=xy+u,u= (xy)，求z′x,zxx,zxy .

2

y ''(xy)，z′′=y+y '(xy)，z′′=xy=1+ '(xy)+xy ''(xy) xx

12.求函数f(x,y)=y3 x2+6x 12y+5的极值.

'

fx= 2x+6=0解：由 '得x=3,y=±2，所以驻点为(3,2),(3, 2)， 2

=3 12=0fy y

''''''

fxx= 2，fxy=0，fyy=6y，

于是在点(3,2)处，A= 2<0，AC B=( 2)(12) 0= 24<0， 所以函数f(x,y)=y x+6x 12y+5在点(3,2)处不取得极值 在点(3, 2)处，A= 2<0，AC B=( 2)( 12) 0=24>0，

所以函数f(x,y)=y x+6x 12y+5在(3, 2)处取得极大值：f(3, 2)=30 14.某工厂生产两种产品Ⅰ与Ⅱ，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品Ⅰ和生产

3

2

2

3

2

2

y单位的产品Ⅱ的总费用是：

f(x,y)=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)（元）

求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解：目标函数为

L(x,y)=10x+9y [400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)] (x≥0,y≥0)

' Lx=10 2 0.06x 0.01y=0

解方程组 '得唯一驻点：x=120,y=80，

Lyx=9 3 0.06 0.01=0 y

由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 所以，生产产品Ⅰ与Ⅱ分别为120件和80件时，工厂获得最大利润。

15.某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R(万元)与电视广告费x(万元)、报纸广告费y(万元)有如下关系：

R(x,y)=15+15x+33y 8xy 2x2 10y2

（1）在广告费用不限的条件下，求最佳广告策略； （2）如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略.

解：（1）目标函数为：R(x,y)=15+15x+33y 8xy 2x 10y，(x≥0,y≥0)

'

39 Rx=15 8y 4x=0

解方程组 '得唯一驻点:x=,y=.

44 Ry=33 8x 20y=0

2

2

由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即在广告费用不限的条件下，最佳广告策略为：电视广告费元.

（2）目标函数为：R(x,y)=15+15x+33y 8xy 2x 10y (x≥0,y≥0)

约束条件为：x+y=1.5

令L(x,y,λ)=15+15x+33y 8xy 2x 10y+λ(x+y 1.5)

2

22

2

39万元、报纸广告费万44

Lx=15 8y 4x λ=0

解方程组 Ly=33 8x 20y λ=0得唯一驻点：x=0,y=1.5.

L=x+y 1.5=0

λ

由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即如果提供的广告费用为1.5万元，应全部用于报纸广告. 16.化二重积分

∫∫f(x,y)dσ为二次积分，其中D是由

D

（1）x=0,y=0,y+x=1所围成的区域. （2）y=x,y=

x,y2=x所围成的区域.

解：（1）由于积分区域D=(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1 x，所以

{}

∫∫

D

f(x,y)dσ=∫dx∫

11 x

f(x,y)dy

（2）由于积分区域

D=D1∪D2=(x,y)≤x≤≤y≤x∪(x,y≤x≤≤y≤，

{

}{

所以

∫∫f(x,y)dσ=

D

1

y2y

xf(x,y)dy+3f(x,y)dy