自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验(2)

解：（1）s3+20s2+9s+100=0根据此闭环特征方程，列出劳斯表为

s3s2s1s0

120

9100

20×9 100×1

=4

20

100

由于劳斯表的第一列系数全部大于零，无s右半平面的闭环极点，故该系统稳定。（2）s3+20s2+9s+200=0根据此闭环特征方程，列出劳斯表为

s3s2s1s0

120

9200

20×9 200×1

= 1

20

200

劳斯表的第一列元素符号改变的次数为2，所以该系统不稳定，并有两个在s平面右半部的特征根（3）s4+3s3+s2+3s+1=0根据此闭环特征方程，列出劳斯表为

s4s3s

2

13

131

1

s1s0

1×3 3

=0(ε>0)33ε 3

<0ε

1

劳斯表第一列系数中出现0，用一个很小的正数ε来代替它，然后继续计算其它元素。由于ε是很小的正数，所以(3ε-3)/ε为负数，

劳斯表的第一列元素符号改变的次数为2，该系统不稳定，并有两个在s平面右半部的特征根。

自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验

（4）s5+s4+4s3+4s2+2s+1=0

根据此闭环特征方程，列出劳斯表为

s5s4s3s2

11

1×4 4

=0(ε>0)3

4411

21

4ε 1

<0ε

4ε 1 ε2

≈1

4ε 1

1

s1s0

劳斯表的第一列元素符号改变的次数为2，该系统不稳定，并有两个在s平面右半部的特征根。（5）s6+3s5+5s4+4s3+3s2+6s+1=0根据此闭环特征方程，列出劳斯表为

s6s5s4s3s2

131133511

54157111

361

1

35 19×11174

= 3535

1745735×

351111>0

35

s1

s01

劳斯表的第一列元素符号改变的次数为2，该系统不稳定，并有两个在s平面右半部的特征根。

3.9设单位负反馈系统的开环传递函数分别为（1）GK(s)=

KKK(s+1)

（2）GK(s)=（3）GK(s)=

(s+2)(s+4)s(s 1)(0.2s+1)s(s 1)(0.2s+1)

试确定使系统稳定的开环增益K的取值范围。

解：（1）该系统的闭环传函为：

自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验

Φ(s)=

闭环特征方程为：

K

s2+6s+8+K

s2+6s+8+K=0

对于二阶系统，如欲使闭环系统稳定，则保证特征多项式的每个系数都大于零即可：

8+K>0

K>-8

（2）该系统的闭环传函为：

闭环Φ(s)=

特征方程为：

K

0.2s3+0.8s2 s+K

0.2s3+0.8s2 s+K=0

s项的系数为负，所以无论K取何值都不能使该系统稳定，该系统为结构不稳定系统。（3）该系统的闭环传函为：

Φ(s)=

闭环特征方程为：

K(s+1)

0.2s3+0.8s2 s+Ks+K

0.2s3+0.8s2+s(K 1)+K=0

根据劳斯判据，欲使该系统稳定则有：

K>0

K 1>0

0.8×(K 1)>0.2K

即：K值范围是

K>4/3

3.10已知单位负反馈系统的开环传递函数为

GK(s)=

4

2s3+10s2+13s+1

试用劳斯判据判断系统是否稳定和是否具有σ=1的稳定裕度。

解：该系统的闭环传函为

Φ(s)=

闭环特征方程为：

4

2s3+10s2+13s+5

2s3+10s2+13s+5=0

由于闭环特征多项式各系数均大于0，且10×13>2×5，因此系统稳定。

判断系统是否具有σ=1的稳定裕度，进行坐标变换，令s=z-1带入此闭环特征方程得

自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验

2z3+4z2 z=0

由于此闭环特征方程缺常数相，则系统在z平面中不稳定，即系统在s平面中不具有σ=1的稳定裕度。

3.11设单位负反馈系统的开环传递函数为

GK(s)=

Ks(s+12)(s+5)(s+3)(s+6)

若要求闭环特征方程根的实部分别小于0、-1、-2，试问K值应怎么选取？

解：该系统的闭环传函为

Φ(s)=

特征方程为

Ks(s+12)

s3+14s2+63s+90+Ks2+12Ks

s3+(14+K)s2+(63+12K)s+90=0

欲闭环特征方程根的实部小于0、-1、-2，实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量（σ=0、1、2），可利用劳斯判据确定对应的K值。

1）使闭环特征方程根的实部小于0

即求使系统保持稳定的K值。由系统的闭环特征方程，有

14+K>0

即 63+12K>0

(14+K)×(63+12K)>90

求得满足条件的K值为

K> 14

K> 5.25 K< 14.79,or

K> 4.46

K> 4.46

2）使闭环特征方程根的实部小于-1

进行坐标变换，令s=z-1，代入闭环特征方程得

z3+(11+K)z2+(38+10K)z+(40 11K)=0

根据劳斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是

11+K>0 38+10K>0 即

40 11K>0 (11+K)×(38+10K)>40 11K

则在s域中满足条件的K值为

K

K K K

> 11

> 3.8<3.64< 13,or

K> 2.9

2.9<K<3.64

3）使闭环特征方程根的实部小于-2

进行坐标变换，令s=z-2，代入闭环特征方程得

z3+(K+8)z2+(8K+19)z+(12 20K)=0

根据劳斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是

自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验

K+8>0 8K+19>0

即

12 20K>0 (K+8)×(8K+19)>12 20K

则在s域中满足条件的K值为

K

K K K

> 8

> 2.38<0.6

< 11.33,or

K> 1.54

1.54<K<0.6

由以上分析可见，对闭环系统的稳定性要求越高，则系统传递系数的取值范围越小。

3.12已知单位负反馈系统开环传递函数（1）GK(s)=（3）GK(s)=

20

(0.1s+1)(s+2)10(s+0.1)s2(s2+6s+10)

（2）GK(s)=

7(s+1)

s(s+4)(s2+2s+2)

试分别求出各系统的静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv、静态加速度误差系数Ka；计算当输入信号r(t)=(1+t+t2) 1(t)时的稳态误差essr。

解：

（1）该系统标准的时间常数表达式为

GK(s)=

系统为0型系统，则有

10

(0.1s+1)(0.5s+1)

Kp=10，Kv=0，Ka=0

输入信号r(t)=(1+t+t2) 1(t)的拉普拉斯表达式为

112R(s)=+2+3

sss

则系统对应的稳态误差essr为

essr=

（2）该系统标准的时间常数表达式为

112++=∞KpKvKa

7

(s+1)GK(s)=ss2

s(+1)(+s+1)42

该系统为I型，则有

7

Kp=∞，Kv=，Ka=0

8

则系统对应的稳态误差essr为

自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验

essr=

（3）该系统标准的时间常数表达式为

112++=∞KpKvKa

GK(s)=

该系统为II型系统，则有

10s+1

10s2(0.1s2+0.6s+1)

Kp=∞，Kv=∞，Ka=0.1

则系统对应的稳态误差essr为

essr=

112++=20KpKvKa

3.13

系统如图3.5所示。试判断系统闭环稳定性，并确定系统的稳态误差essr …… 此处隐藏：2568字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……