大学物理_马文蔚__第五版_下册_第九章到第十一章课后答案(3)

d /dt max sin t max cos2 t 0.80 max 0.218s

线速度的大小为 1

v ld /dt 0.218s 1

讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取sin ，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ 较小时成立．

9-20 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00ｓ），拿到月球上去，如测得周期为4.90ｓ，则月球表面的重力加速度约为多少？ （取地球表面的重力加速度gE 9.80m s 2）

2解 由单摆的周期公式T 2π/g可知g 1/T2，故有gM/gE TE2/TM，则月球的

重力加速度为

gM TE/TMgE 1.63m s 2

9-21 一飞轮质量为12kg，内缘半径r ＝0.6

ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s，试求其绕质心轴的转动惯量． 2

9-21 题图

分析 飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为T 2πJ/mglc，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离lc，其以刃口为转轴的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．

解 由复摆振动周期T 2πJ/mglc，可得J mgrT/4π．则由平行轴定理得 22

J0 J mr2 mgrT2/4 2 mr2 2.83kg m2

9-22 如图（a）所示，质量为1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s-1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m-1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．

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题9-22 图

分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m1 ＋m2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v0 和初位移x0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．

解 振动系统的角频率为 k/m1 m2 40s 1

由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v0 为

v0 m1v m1 m2 1.0m s 1

2又因初始位移x0 ＝0，则振动系统的振幅为 2A x0 v0/ω v0/ω 2.5 10 2m

图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位0 π/2，则简谐运动方程为

x 2.5 10 2cos 40t 0.5π m

9-23 如图（a）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m1 的空盘．现有一质量为m2 的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1） 此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？ （2） 此时的振幅为多大？

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题9-23 图

分析 原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m1 变为m1 + m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于A 2x0 v0/ω，因此，确定初始速度v0 和初始位移2

x0 是求解振幅A 的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v0 ，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移x0 时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移x0 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．

解 （1） 空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为

T 2π/ω 2πm1/k T 2π/ω 2πm1 m2/k

可见T′＞T，即振动周期变大了．

（2） 如图（b）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即

x0 l1 l2 m1gm1 m2m g 2g kkk

式中l1 ＝m1/k 为空盘静止时弹簧的伸长量，l2 ＝（m1 ＋m2）/k 为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度

v0

式中v m2m2v 2gh m1 m2m1 m22gh是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为

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22A x0

v0/ω m2g2kh1 km1 m2

本题也可用机械能守恒定律求振幅A．

9-24 如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧，系一质量为m1 的物体，在水平面上作振幅为A的简谐运动．有一质量为m2 的粘土，从高度h 自由下落，正好在（a）物体通过平衡位置时，（b）物体在最大位移处时，落在物体上．分别求：（1）振动周期有何变化？ （2）振幅有何变化？

题9-24图

分析 谐振子系统的周期只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关．由于粘土落下前后，振子的质量发生了改变，因此，振动周期也将变化．至于粘土如何落下是不影响振动周期的．但是，粘土落下时将改变振动系统的初始状态，因此，对振幅是有影响的．在粘土落到物体上的两种不同情况中，系统在水平方向的动量都是守恒的．利用动量守恒定律可求出两种情况下系统的初始速度，从而利用机械能守恒定律（或公式A

幅．

解 （1） 由分析可知，在（a）、（b）两种情况中，粘土落下前后的周期均为 2x0 v0/ω）求得两种情况下的振2

T 2π/ω 2πm1/k

T 2π/ω 2πm1 m2/k

物体粘上粘土后的周期T′比原周期T 大．

（2） （a） 设粘土落至物体前后，系统振动的振幅和物体经过平衡位置时的速度分别为

A、v 和A′、v′．由动量守恒定律和机械能守恒定律可列出如下各式

kA 2/2 m1v2/2 （1）

kA 2/2 m1 m2 v 2/2 （2）

m1v m1 m2 v （3）

联立解上述三式，可得

A m1/m1 m2A

即A′＜A，表明增加粘土后，物体的振幅变小了．

（b） 物体正好在最大位移处时，粘土落在物体上．则由动量守恒定律知它们水平方向的共同速度v′＝m1v/（m1 ＋m2 ） ＝0，因而振幅不变，即

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A′＝A

9-25 质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s-1 求：（1） 振动的周期；（2） 物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3） 物体在何处其动能和势能相等？ （4） 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？

分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度amax A 2，由此可确定振动的周期T．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E ＝kA2/2．当动能与势能相等时，Ek ＝EP ＝kA2/4．因而可求解本题．

解 （1） 由分析可得振动周期

T 2π/ω 2πA/amax 0.314s

（2） 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即

11mA2 2 mAamax 22

2.0 10 3JEk E

（3） 设振子在位移x0 处动能与势能相等，则有

2kx0/2 kA2/4

得 x0 2A/2 7.07 10 3m

（４） 物体位移的大小为振幅的一半（即x A/2）时的势能为

121 A kx k E/4 22 2

则动能为 EK E EP 3E/4 EP