大学物理_马文蔚__第五版_下册_第九章到第十一章课后答案

大学物理,课后题。完美,考试必考

第九章 振动

9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A，起始时刻质点的位移为

代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）

A，且向x 轴正方向运动，2

题９-１ 图

分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）． 9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ）

22 2 2 A x

2cos πt πcm Cx 2cosπt π cm 3 3 3 3 42 2 4 B x 2cos πt πcm Dx 2cosπt π cm 3333

题９-２ 图

分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A/2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为2π/3．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A 处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差Δ

出正确答案． 4π/3，则角频率ω Δ/Δt 4π/3 s 1，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找

大学物理,课后题。完美,考试必考

9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比x2 的相位（ ）

（A） 落后ππ （B）超前 （C）落后π （D）超前π 22

分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（b）．

题９-３ 图

9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ）

（A） v （B）v （C）2v （D）4v 2

1222分析与解 质点作简谐运动的动能表式为Ek m Asin t ，可见其周期为简谐2

9-5 图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）． 振动的初相位为（ ）

（A） 13π （B）π （C）π （D）0 22

分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差

Acos ωt π ．它们的振幅不同．对2

A于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为x1 cos t．因2是 （即反相位）．运动方程分别为x1 Acos t和x2

而正确答案为（D）．

大学物理,课后题。完美,考试必考

题９-５ 图

9-6 有一个弹簧振子，振幅A 2.0 10 2m，周期T 1.0s，初相

它的运动方程，并作出x t图、v t图和a t图．

3π/4．试写出

题９-6 图

分析 弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A、初相 、角频率 是简谐运动方程x Acos t 的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量．题中除A、 已知外， 可通过关系式ω 2π/T确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．

解 因ω 2π/T，则运动方程

x Acos ωt

根据题中给出的数据得 2πt Acos T

x 2.0 10 2cos 2πt 0.75π m

振子的速度和加速度分别为

大学物理,课后题。完美,考试必考

v dx/dy 4π 10 2sin 2πt 0.75π m s-1

a d2x/d2y 8π 10 2cos 2πt 0.75π m s-1

x t、v t及a t图如图所示．

9-7 若简谐运动方程为x 0.10cos 20πt 0.25π m ，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t 2s时的位移、速度和加速度．

分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式

t 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、x Acos

加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．

解 （1） 将x 0.10cos 20πt 0.25π m 与x Acos t 比较后可得：振幅A ＝0.10m，角频率ω 20πs 1，初相 ＝0.25π，则周期T 2π/ω 0.1s，频率v 1/THz．

（２）t 2s时的位移、速度、加速度分别为

x 0.10cos 40πt 0.25π 7.07 10 2m

v dx/dt 2πsin 40π 0.25π 4.44m s-1

a d2x/d2t 40π2cos 40π 0.25π 2.79 102m s-2

9-8 一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．

分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足F kx，则货轮作简谐运动．通过F kx即可求得振动周期T 2π/ω 2πm/k．

证 货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F ＝mg．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x 轴正向，如图（b）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为

F P F

其中F 为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为

F F gSx mg gSx

大学物理,课后题。完美,考试必考

题９-８ 图

则货轮所受合外力为

F P F gSx kx

式中k gS是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．

由

2 F mdx/dt可得货轮运动的微分方程为 22d2x/d2t gSx/m 0 令 gS/m，可得其振动周期为

T 2π/ω 2πm/ρgS

9-9 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度 5.5 10kg m．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1） 证明此质点的运动是简谐运动；（2） 计算其周期．

3 3

题９-９ 图

分析 证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可．

证 （1） 取图所示坐标．当质量为m 的质点位于x处时，它受地球的引力为

大学物理,课后题。完美,考试必考

F Gmxm x2

式中G为引力常量，mx是以x 为半径的球体质量，即mx 4πρx3/3．令k 4πρGm/3，则质点受力

F 4πρGmx/3 kx

因此，质点作简谐运动．

（2） 质点振动的周期为

T 2πm/k 3π/Gρ

5.07 10s3

9-10 如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、k2 ．当物体在光滑斜面上振动时．（1） 证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率．

题9-10 图

分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率 ．

证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有

mgsin k1x1 k2x2 （1）

和x2 ， x2 ．按图（b）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1即x x1则

物体受力为

大学物理,课后题。完美,考试必考

mgsin k1 x1 x1 （２） F mgsin k2 x2 x2