浅谈中学几种常用证明不等式的方法(3)

7.1构造函数模型

我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题。在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问

题的结构特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题。 例14：已知: 1 a 1, 1 b 1, 1 c 1

求证: ab bc ac 1

证明: 构造函数f(x) (b c)x bc ( 1 x 1),此图象为一条直线.

∵f(1) b c bc (b 1)(c 1) 1

b 1 0 c 1 0

∴f(1) 1

f( 1) b c bc (1 b)(1 c) 1

又 1 b 0,1 c 0

f( 1) 1

f(a) (b c)a bc 1

例15:已知x,y都是正数,x y 1；求证

证明: 设u(x) (x 1)2 (y 1)2

92

(x 1)2 y 1 5 2

0 x 1,y 1 x u(x) 2x2 2x 5

9 ,5 .

在(0,1)上的值域为 2

92

(x 1)2 y 1 5. 2

所以,

7.2构造数列模型

对于某些自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时可构造有关数列模型，利用其单调性解决。

111 1.

例16： 求证：n 1n 2 3n 1

111

1, n 1n 23n 1

证明: 构造数列模型an

则有an 1 an

1111 3n 43n 33n 2n 1111 3n 43n 23n 3

2

0，所以数列{an}为递增数列。

(3n 2)(3n 3)(3n 4)

1111 1 0，故an 0(其中n N ) 23412

即原不等式得证。

又因为a1

总结：欲证含有与自然数n有关的和的不等式f(n) g(n)，可以构造函数模型

an f(n) g(n)，只需证明数列{an}是单调递增，且a1 0。另外，本题也可以用数学归纳法证明，但是构造数列模型证明简洁。

8．数学归纳法证明不等式

说明数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有

两个步骤一个结论：

（1） 证明当n取n0（如n0=1或2等）时结论正确

（2） 假设n=k（k N ,且k n0）时结论正确，证明n=k+1时结论也正确

由（1）、（2）得出结论正确。因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P（k）成立”是问题的条件而“命题P（k+1）成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析用数学归纳法证明不等式常涉及的方法。

8.1分析综合法

1 2

12 3

1n(n 1)

例17：求证：

1 2

12

n,n N

证明：（1）当n 1时，因为 1，所以原不等式成立。

（2）假设n k(k 1,k N )时，原不等式成立， 即有：

n k 1时：

1 2

1 2

1

12 3

1

1(k 1)

k

1

1k 1)(k 2)

2 3

k(k 1)(k 1)(k 2)

k

因此，要证明当n k 1时，原不等式成立， 只要证明k

1(k 1)(k 2)

1

k 1成立

1k 1 k

1k 3k 2

2

即证明k 1 k

k 1)(k 2)

也就是证明k2 3k 2 k 1 k

即(k 3k 2) (k 1 k)2 k2 k 1 2k(k 1) 从而k2 3k 2 k 1 k 于是当n k 1时，原不等式也成立。

由（1）、（2）可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立。

2

2

k(k 1) 1 0

2

8.2放缩法

111n

n 1 (n N ) 2322

1

证明：（1）当n 1时，1 ，不等式成立。

2

例18：求证：1

不等式成立，即 （2）假设n k(k 1,k N )时

1

111k

k 1 2322

当n k 1时

1

1111k1k 1 k 1 k 2k 1 k 2322222

111n

n 1 (n N ) 2322

所以当n k 1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，1

8.3递推法

1

a，求证：对一切n N , an

例19：设0 a 1，定义a1 1 a,an 1 有1 an

1 1 a

，a1 1,又a1 1 a 证明：（1）当n 1时

1

，显然命题成立 1 a

（2）假设n k(k 1,k N )时，命题成立，

即1 ak

1 1 a

当n k 1时，由递推公式，知ak 1 ak a (1 a) a 1 同时，ak 1

1 a21

ak a 1 a

1 a1 a

当n k 1时，命题也成立。 即1 ak 1

1 1 a

1 1 a

由（1）、（2）可知，对一切正整数n，有1 an

说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．

9.判别式法证明不等式

判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。