浅谈中学几种常用证明不等式的方法(2)

23n

2

345n 1 234n

345n 1 n2 234n

1

n

n(n 1)

1111

n 1 n(n 1)n

234n

1

2.5寻找“中介量”放缩法

当两式难以比较大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明。

例4：求证：

11123

log2 log5 log519log319log219

11

log 2 log 5 log 10 log2 log5

证明：

log 2 2

123

log195 log1932 log1923 log19(5 9 8)

log519log319log219

log19360 2

11123

log2 log5 log519log319log219

小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。放缩 必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻 找。

3反正法证明不等式

3.1反证法定义

“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、

定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法．

3.2反证法步骤

1、假设命题的结论不成立；

2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．

例5：已知：a,b,c都是小于1的正数；求证：(1 a)b,(1 b)a,(1 c)a中至少有

1

一个不大于。

4

分析 ：采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少有一个不大于题是“全都大于

1

”。 4

1

”的否命4

证明：假设(1 a)b

111,(1 b)c ,(1 c)a 444

a,b,c都是小于1的正数

1 a)b 1,2 1 a)b

1 b)c

11,(1 c)a 22

3

2

(1 b)c (1 c)a

又

1 a)b 3

2

(1 b)c (1 c)a

1 a b1 b c1 c a

222

故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确

说明： 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法． 例6：若p 0,q 0,p3 q3 2，求证：p q 2

证明：假设p q 2，则(p q)3 8，即p3 q3 3pq(p q) 8。 因为p3 q3 2，所以pq(p q) 2

故pq(p q) 2 p3 q3 (p q)(p2 pq q2) 又p 0,q 0,即p q 0 所以pq (p2 pq q2) 故(p q)2 0

与假设不成立，原命题正确。

总结：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用

4．换元法证明不等式

4.1利用对称性换元，化繁为简

例7:设a,b,c R ,求证:abc b c a c a b a b c .

分析:把a,b,c中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令 x b c a,y c a b,z a b c,则原不等式等价于：

x y y z z x 8xyz.

证明:令x b c a,y c a b,z a b c,则 a

1

y z ,b 1 x z ,c 1 x y . 222

a,b,c R , 当xyz 0时,有 x y y z z x 8xyz；

当xyz 0时,有x,y,z R (否则x,y,z中必有两个不为正值,不妨设x 0, y 0,则c 0,这与c 0矛盾), 因此

x y 2xy 0,y z 2yz 0,z x 2zx 0, x y y z z x 8xyz,

综上所述, x y y z z x 8xyz

把x,y,z代入上式得: abc b c a c a b a b c

4.2三角换元法

三角换元法的基本思想是根据已知条件，引进新的变量---三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。

例8：已知x2 y2 1，求证x2 2xy y2 2

分析：由已知x2 y2 1，令x cos ,y sin ，则a 1 证明：令x cos ,y sin ，a 1

x2 2xy y2 2 2cos2 2sin2 2 cos sin a2cos2 sin2 a2 2sin(2

4

) 2 2 2

说明:换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)若x 1，可设x sin ， R；

(2)若x2 y2 1，可设x sin ,y cos ；

(3)若x2 y2 1，可设x cos ,y sin ，a 1。

4.3和差换元法

在题中有两个变量x,y，可设x a b,y a b，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式。

a ba2 b2a3 b3a6 b6

例9:对任意实数a,b，求证： 2222

分析：对于任意实数a与b，都有a s

a ba ba ba b

,b 。令 2222

a ba b

,t ，则有a s t,b s t。 22

证明：设a s t,b s t，

下面只须证： s(s2 t2)(s3 3st2) s6 15s4t2 15s2t4 t6

∵不等式右边—不等式左边=11s4t2 12s2t4 t6 0 ∴s(s2 t2)(s3 3st2) s6 15s4t2 15s2t4 t6

a ba2 b2a3 b3a6 b6 即 2222

说明：利用“和差换元”可以简证难度较大的不等式.

4.4分式换元法

11

证：(1 )(1 ) 9 例10：已知 a,b R ,且a b 1,求

ab

分析：本题的证明方法很多，下面我们利用分式换元来进行证明 证明：设a

xy

,b ,且x 0,y 0 x yx y

11x yx y(1 )(1 ) (1 )(1 )

abxy

yxyx (2 )(2 ) 5 2( )

xyxy (1 1)(1 1) 9

a

b

当且仅当

yx1 ,即a b 时等号成立 xy2

说明：不等式的证明中，我们知道证明不等式时，可以利用分式换元，使其分式结构变得简单，分母变为单项式，然后把逐项分离，便于利用均值不等式。

5．综合法证明不等式

5.1综合法证明不等式的依据

（1）已知条件和不等式性质； （2）基本不等式：

“＝”号）．

5.2用综合法证明不等式的应用

例11：已知a,b,c是不全等的正数，求证：

a(b2 c2) b(c2 a2) c(a2 b2) 6abc．

分析：观察题目，我们很容易想到利用性质a2 b2 2ab．

证明： b2 c2 2bc，a 0

a(b

2

c2) 2abc ①

同理可得：b(a2 c2) 2abc ②

c(a2 b2) 2abc ③

a,b,c是不全等的正数，

①，②, ③至少有一个不等式不能取等号 ①+②+③ a(b

2

c2) b(c2 a2) c(a2 b2) 6abc

5.3综合法与比较法的内在联系

由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明；摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法 …… 此处隐藏：2734字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……