中考数学动点问题专题讲解

中考动点专题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000年²上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x,GP y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).

(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.

y

x

H

A

M 图1

二、应用比例式建立函数解析式

例2（2006年²山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC的度数为 ,∠DAE的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由. C B 图2

例3(2005年²上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.

(1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的

定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP的长.

A

3(2)

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年²上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时, △AOC的面积.

O H 图8

C

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图， ABC中，AB AC 10，BC 12，点D在边BC上，且BD 4，以点D为顶点作 EDF B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F． （1）当AE 6时，求AF的长；

（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，

求BE的长； （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长． [题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一

线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,

当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切

问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置

关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．

2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R±r(R r)建立方程． 3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

CFCD

，代入数据得CF 8，∴AF=2

BDBE

32

（2） 设BE=x,则d AC 10,AE 10 x,利用（1）的方法CF ，

x

32

相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，10 10 x ，x 42；

x

解：（1） 证明 CDF∽ EBD∴内切，10 x

32

，x 10 2． 0 x 10 x

∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为42或10 2． （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，BE

20． 3

类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、

⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题． （二）线动问题

在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长； (2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝

1

AC，设AD的长为x，五边4

形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x

l

′

3

长为半径的圆与4

直线l相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规

C

l

则图形用割补法．

2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程． 3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝

∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 BC 33

1AC 2

x2 91212

(2)①AC x 9，AO x 9，AF (x 9)，AE

4x412

2

∴S AEF

(x2 9)2(x2 9)21

，S 3x AE AF

96x96x2

x4 270x2 81

S (3 x 33)

96x

31288 x 9，x1 0(舍去)，x2 ∵x2 34455

∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切．

②若圆A与直线l相切，则x

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