【2014届高考数学难点突破】(03)抽象函数问题(含详细解析)

2014届高考数学难点突破

专题三 抽象函数问题

f(x) f( x)

0的解集为

x

A．( 1，0) (1， ) B．( ， 1) (01)， C．( ， 1) (1， ) D．( 1，0) (01)，

1.奇函数f(x)在(0， )上为增函数，且f(1) 0，则不等式

2.设定义在R上的函数f x 满足f x f x 2 13，若f 1 2，则f 99

132

D. 213

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xyf(1) 2，则f( 3)等于

A．13 B.2 C.

A．2 B．3 C．6 D．9 4.设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x) f x 3 的所有x

x 4

之和为

A． 3

B．3

C． 8

D．8

5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程

f(x) 0在闭区间 T,T 上的根的个数记为n，则n可能为

A.0 B.1 C.3 D.5 6. 已知定义域为R的函数f(x)在(8, )上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

7.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足f(x/y) f(x) f(y),且f(6)=1,则不等式f(x+3)-f(1/x)＜2的解集为 .

8. R上的单调函数f x ,f 3 log23，对于任意的实数m、n∈R，都有f(m+n)＝f(m)＋f(n)成立，若f k 3x f 3x 9x 2 0对于任意的实数R恒成立，则实数k的取值范围是 . 9. 函数定义在R上，对任意实数m,n，恒有f m n f m f n ，且当x 0时，0 f x 1.若集合

A x,y fx2fy2 f 1 ,B x,y f ax y 2 1,a R

，若

A B

，则实数a的取值范围

是 .

10.函数f(x)对任意x1,x2∈R,当x1+x2=1时,恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),则an

11.设函数f(x)是定义域为R+，且对任意的x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),，当且仅当x>1时，f(x)>1

x

成立，则不等式f(ax 1)>f(a-3) (0<a<1)的解集为

（2）不f 1 0;当x 1时,f x 0. （1）若an f n ，则数列 an 的通项公式为

12.已知函数 f x 满足：对任意的实数 f x y f x f y 2xy 1成立，且等式 f x2 2x 3 120的解集为

13.已知F x 是R上的减函数，且f x xF x

（1） 对于任意的x1,x2 R ,求证：f x1 x1F x1 x2 ,，并判断 f x1 f x2 f x1 x2 是否为F x 是R上减函数的必要条件；（2） 如果（1）中判断成立，试将其推广一般情形

（不必证明）；若不成立，请写出一个正确的结论（不必证明）。

14.已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f（ab）=af（b）+bf（a）.⑴ 求f（0），f（1）的值；⑵ 判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；⑶ 若

n

f（2）=2，Un f 2 （n∈N），求数列｛Un｝的前n项和Sn。

n

2014年高考数学难点突破

抽象函数问题答案

1.设奇函数f(x)在(0， )上为增函数，且f(1) 0，则不等式

f(x) f( x)

0的解集

x

D．( 1，0) (01)，

为（ D ）

A．( 1，0) (1， ) B．( ， 1) (01)， C．( ， 1) (1， )

2.设定义在R上的函数f x 满足f x f x 2 13，若f 1 2，则f 99 ( C )

132

D. 213

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xy（x，y R），f1)(2 ，则f( 3)等于（ C ）

A．13 B.2 C.

A．2 B．3 C．6 D．9 4.（辽宁卷12）设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足

x 3

f(x) f 的所有x之和为（ C ）

x 4 A． 3 B．3 C． 8

D．8

5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x) 0在闭区间 T,T 上的根的个数记为n，则n可能为 D.

A.0 B.1 C.3 D.5 6. 已知定义域为R的函数f(x)在(8, )上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 答案：D 解析：y=f(x+8)为偶函数， f(x 8) f( x 8).即y f(x)关于直线x 8对称。又f(x)在(8, )上为减函数，故在( ,8)上为增函数， 检验知选D。

7.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足f() f(x) f(y),且f(6)=1,则不等式f(x+3)-f(1/x)＜2的解集为 .

7. 抽象函数研究方法，赋值和创造使用对应法则及用单调性转化求解.令x=y=1可得f（1）=0；反复用对应法则f（x+3）-f（

x2 3x6

xy

1

）=f（x2+3x）.而2=2f（6），且x＞0.于是有f（x2+3x）x

2x-f（6）＜f（6）；即f（）＜f（6），可得0＜ 3x＜6，解之,0＜x＜ 3 3 62

8. 定义在R上的单调函数f x ,f 3 log23，对于任意的实数m、n∈R，都有f(m+n)＝f(m)

＋f(n)成立，

若f k 3x f 3x 9x 2 0对于任意的实数R恒成立，求实数k的取值范围 . 8. 赋值 奇函数，单调性转化分离参数不等式求解

fk 3x f3x 9x 2 0, fk 3x f 3x 9x 2,2

k 3 3 9 2, k 3 x 1, k 22 1.

3

x

x

x

x

9. 函数定义在R上，对任意实数m,n，恒有f m n f m f n ，且当x 0时，0 f x 1.若集合

A x,y fx2fy2 f 1 ,B x,y f ax y 2 1,a R

，若

A B

，则实数a的取值范围

是 .

9.创造使用对应法则和题设条件研究单调性切入，理解集合意义，化归直线和圆的特殊位置求解.赋值，用定义和题设条件证明减函数.设x1 x2,x2 x1 0, 0 f x2 x1 1，用对应法则

f x2 f x21 f x1 x2 x1 f x1 f x2 x1 , 0 1, f x2 f x1 ，即f x 为实数上的减函数.由法则和单fx1调性A为x2 y2 1,B为ax y 2 0上的点，A B ，则单位圆和恒过定点的直线系相离或相切，即2 1，解得实数a的取值范围为 ,3.

a 1

2

10.函数f(x)对任意x1,x2∈R,当x1+x2=1时,恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),则an

10.依据对应法则和所求值的结构特征，创造用对应法则，整体把握用等差数列前n项和公式推导方法“反序求和”.由an=0+f(1)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),

an= f(n-1/n)+f(n-2/n)+… +f(1/n)+0，相加用对应法则有2an=〔f(1/n)+f(n-1/n)〕+〔f(2/n)+f(n-2/n)〕+…+〔f(n-1/n)+f(1/n)〕=n+1,故an

11.设函数f(x)是定义域为R+，且对任意的x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),，当且仅当x>1时，f(x)>1

x

成立，则不等式f(ax 1)>f(a-3) (0<a<1)的解集为

11.创造使用对应法则和题设条件，比较大小和解函数不等式.由对应法则有f(y/x)=f(y)-f(x) .⑴由f(x1)>f(x2) 和f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0, 而x>1时，f(x)>1成立,则x1/x2>1. 又

+x

x1,x2∈R，故 x1>x2. ⑵ 由⑴知，由f(ax 1)>f(a-3) 得，(ax 1)/(ax-3) >1,且 ax-3&g …… 此处隐藏：3242字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……