生产经营管理数学建模两阶段特殊结构混合0-1规划的分解算法(2)

ｍａｘ

８．ｔ．ｃＩｘ：Ａ：＋ｃ２石２Ａ２ｌｘ：Ａ：＋Ａ２２戈２≤６２

ｅ：Ａ：＝ｌ

Ａ：∈｛ｏ，１｝；石２为混合变量（彤，Ｐ．粥）

ｍａｘ

ｓ．ｔ．ｃｌ茗Ｉ＋妒Ａ１１并ｌ≤６Ｊ

０ＭＩＰ—Ｄｓ、）∥：－并－＋妒≤山…，：为溉量｛（ｃ：一一：：）石：｝

戈。为混合变量

其中ｘ：是集合ｘ。＝｛茗，为混合变量ＩＡ。。茗。≤６。｝凸包的极点，Ａ：为相应的凸组合系数，ｅ：为全ｌ的向量；ｐ是耦合约束对应的对偶变量。

从上述分解结构来看，原始子问题是受限的原问题，为原问题（ｍａｘ）的最优目标值提供了下界，随着新得到的茗。极点的加人生成了新的极点组合，不断缩小下界与原问题最优目标值之间的间隙，最终从下界逼近原问题的最优目标值；另一方面，对偶子问题是松弛的原问题，为原问题的最优目标值提供了上界，随着新得到肛值的加人生成了新的约束，不断缩小上界与原问题最优目标值之间的间隙，最终从上界逼近原问题最优目标值。

原始－对偶分解算法的一个重要特征就是具有平衡的分解结构，两个子问题处于平等的地位，同时扮演了传统分解算法的主问题和子问题的角色。原始子问题接受对偶子问题提供的茗。极点解，并用凸组合的形式对其进行描述，与Ｄ．形主问题的作用相同；同时为对偶子问题提供割约束，扮演着Ｂｅｎｄｅｒｓ子问题的作用。类似的，对偶子问题接受原始子问题提供的割约束，扮演着Ｂｅｎｄｅｒｓ主问题的作用，同时为原始子问题提供极点解，扮演着Ｄ．形子问题的作用。所以。原始一对偶分解算法是更为一般的、具有完美对称性的分解算法。

但是，上述混合０－１规划原始一对偶分解算法的原始子问题仍然是一个混合０．１规划问题，无法像线性规划问题那样利用对偶理论直接得到最优对偶解。为了获得（近似）对偶信息，可以利用原始子问题的线性松弛来获得对偶解。利用线性松弛问题来求解对偶解的方法在很多文献中都得到了应用¨’儿１。本文也将通过求解原始子问题的线性松弛问题（肘俨．Ｐｓ驴）获得近似对偶解ｐ’，保证在得到近似最优解的同时能够快速收敛。如果此时求解子问题（肘，Ｐ—ＪＰＩｓ驴）所得原始解中的连续变量为茗：。，根据Ｄｕａｌ Ａｄｅｑｕａｔｅ性

４运筹与管理２００９年第１８卷质一】，那么对偶子问题（Ｍ俨一Ｄｓ）可以进一步表示为

ｍａｘ

８．ｔ．ｃｌ茗ｌ＋妒ＡＩｌ舅ｌ≤６Ｉ

（肘伊－Ｄｓ）ｐ，哇２ｌ石ｌ＋妒≤肛６２＋（ｃ２Ｉ—ｐ’Ａ：２）石；Ｉ＋８ＨＰ．．｛（ｃ２２一ｐ＋Ａ；２）石２２｝

’２２ＥＩｕ ＩＩ

省，为混合变量

在收敛条件设置方面，可以根据原始子问题的线性松弛问题（膨，Ｐ．黔驴）和对偶子问题（肼，Ｐ－ＤＳ）的最优目标函数值均无法继续改善来判断原始－对偶分解算法的停止，也就是在对偶子问题中没有有效切面继续被生成或者新加入的约束无法继续改善其目标函数值，同时原始子问题的线性松弛问题中也没有有效极点继续被生成或者新生成的极点无法继续改善其目标函数值。利用线性松弛求解对偶解的过程中，开始时主要在原始子问题的线性松弛问题（聊一Ｐｓ￡Ｐ）和对偶子问题（Ｍ俨－ＤＳ）之间迭代：求解问题（Ｍ伊．ＰＳ己Ｐ）得到对偶解ｐ以及原始解石：。，并将其传递给对偶子问题（Ｍ伊．ＤＳ），对偶子问题得到新的ｐ和戈：。值后添加一行新约束，重新求解更新的对偶子问题可以得到原始解菇。，并作为极点解被传递给原始子问题（肘，Ｐ．ＰＳ）与其线性松弛问题（肘，Ｐ—ＰＳ￡Ｐ），重新求解扩张后的问题（肘俨．Ｐ５￡Ｐ），依次进行迭代。经过Ｊ｝次迭代之后，原始子问题的线性松弛问题和对偶子问题都无法继续改善，此时的原始子问题（Ｍ，Ｐ－Ｐｓ）已经被添加了．｜｝列极点变量，求解该问题便可以得到混合变量菇：的解。最后通过启发式思想，固定原问题有意义的变量值，便得到了原问题的近似最优解。

如果以０—１变量作为原问题有意义的变量，那么上述原始一对偶分解算法的基本过程如下所示：

（１）令Ｓ：。代表所有已知ｘ。极点解的集合，Ｓ。代表所有已知的ｐ极点解的集合；并令Ｓ；，＝ｐ，Ｓ，＝ｐ，收敛误差为占，迭代次数后＝Ｏ，令原始子问题与其线性松弛问题以及对偶子问题目标函数的初始值分别为：冀￡Ｐ＝一∞，ｚ；ｓ＝一∞，：：ｓ＝＋∞；

（２）令．｜｝＝．｜｝＋ｌ，求解对偶子问题（ＭＰ－Ｄｓ）

如果对偶子问题不可行，则原问题不可行，停止计算；

否则。可以求得原始极点解石。以及当前目标函数值：ｋ，如果：：，≤二：１，更新集合ｓ，。＝ｓ，。ｕ｛髫。｝和ｚ：，，并为ｘ。加列，转到（３）；

（３）求解原始子问题的线性松弛（肘，Ｐ—Ｐｓ凹）

如果原始子问题的线性松弛问题不可行，则原问题不可行，停止计算；

否则，可以求得对偶极点解ｐ以及当前目标函数值＝幺。，，如果：ｋ＂≥：茹，更新集合ｓ，＝ｓ，ｕ｛ｐ｝与：；。ＬＰ，转到（４）；

（４）收敛性检验

如果ｚ塞１一：：。≤Ｆ并且ｚ；ｓ。Ｐ一孑；≥≤Ｆ，收敛过程结束，转（５）；

否则转到（２）；

（５）启发式求解过程

求解原始子问题（Ｍ，Ｐ－Ｐｓ），得到原始解菇：和Ａ。以及目标函数值彳篙；

固定原问题（膨，尸）的ｏ．１变量值分别对应向量（ｘ。 Ａ。。ｚ：）中的ｏ．１变量部分，求解受限的原问题可以得到相应的目标函数值以及连续变量解，从而得到原问题的近似最优解。

３原始．对偶分解算法的初步实验结果

我们分别用ｃ语言在ｗｉｎｄｏｗｓ操作系统下编程实现原始－对偶分解算法，通过调用ＩＬＯＧ公司的ＣＰＬＥｘ【２１１软件求解线性规划和整数规划。实验问题是１８组用随机生成方法生成的０．１混合整数规划模型，每组问题有１０个模型，总规模分别为２００×２００和４００×４００。为保证随机生成模型的可解性，对模型参数做了如下限制：目标函数系数ｃ¨和ｃ：。∈［１００，２００］，ｃ。：和ｃ：：∈［一１００，０］，右边项系数６。和６：Ｅ［２００，４００］，系数矩阵Ａ：。、Ａ；，和Ａ：：Ｅ［ｏ，４０］，Ａ：，、Ａ毛和Ａ；：∈［＿４００，－２００］，收敛误差为１０～。生成的随机矩阵基本信息如下表所示。

第４期刘均华，等：两阶段特殊结构混合０．１规划的分解算法５

表ｌ随机矩阵基本信息

问题—丽型堕面一萎蓍—丽监鉴西一竞毳稀疏度Ｉ２００２００２０４０４０２０５９５．１５％

２２００２００２０４０４０４０５ｌｌＯ．１３％

３２００２００４０２０４０１８５０４．６３％

４２００２００４０２０４０３６５２９．１３％

５２００２００４０４０４０１８７６４．６９％

６２００２００４０４０４０３６７７９．１９％

７４００４０Ｉｏ４０４０８０８１１７５．０７％

８４００４００４０４０８０１６０４７１０．０３％

９４００４００４０８０８０８１３２５．０８％

ｌＯ４００４００４０８０８０１６２３０１０．１４％

儿４００４００８０４０４０７３２７４．５８％

１２４００４００８０４０４０１“８７９．０５％

１３４００伽８０８０４０７３５０４．５９％

１４４００４００８０８０４０１４５４６９．０９％

１５４００４００８０ …… 此处隐藏：1802字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……