材料力学重点及公式(2)

限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即

，

（4.12）

3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能

在线弹性范围内，由功能原理得

当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律

，可

得

（4.14）

表示。线弹性范围内，

杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用

得

（4.15）

4，圆截面直杆扭转应变能

在线弹性范围内，由功能原

将与代入上式

得

（4.16） 图4.5

根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度：

（4.17）

5，梁的弯曲应变能

在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得

将与代入上式得

（4.18）

图4.6

横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式

（4.18），积分得全梁的弯曲应变能，即

（4.19）

2

3．惯性矩的平行移轴公式

静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。 定义式：

，

（Ⅰ-1）

量纲为长度的三次方。

由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标

和。则

由此可得薄板重心的坐标 为

同理有

所以形心坐标 ， （Ⅰ-2）

或

，

由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即

；

，则

，

；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然

通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第 I 块分图形的面积

为

，形心坐标为

，则其静矩和形心坐标分别为

，

（Ⅰ-3）

， （Ⅰ-4）

§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径

惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。

，

（Ⅰ-5）

量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义

， （Ⅰ-6）

为图形对

轴和对 轴的惯性半径。

组合图形的惯性矩。设

为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为

，

定义图形对坐标原点

（Ⅰ-7）若以

的极惯性矩

表示微面积 到坐标原点的距离,则

（Ⅰ-8）因为

所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系

（Ⅰ-9）

式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

下式

（Ⅰ-10）

定义为图形对一对正交轴

、 轴的惯性积。量纲是长度的四次方。

可能为正，

为负或为零。若 y ，z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。 §Ⅰ-3平行移轴公式

由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴

时，如图Ⅰ-7所示，可得到如下平行移轴公式

（Ⅰ-13）

简单证明之：

其中

为图形对形心轴

的静矩，其值应等于零，则得

同理可证（I-13）中的其它两式。

结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。把斜截面上的总应力

分解成与斜截面

垂直的正应力和相切的切应力（图13.1c）,则其与主应力的关系为

（13.1）

（13.2）

在以的正应力

为横坐标、和切应力

为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上为由三个主应力所确定的三个圆所围成区域（图13.2

中阴影）中的一点。由图13.2显见