二项分布_超几何分布_正态分布

来源：网络收集时间：2026-08-29

导读：高考总复习.理科.数学第十三章概率与统计二项分布、超几何分布、第六节二项分布、超几何分布、正态分布高考总复习.理科.数学课前自主学案高考总复习.理科.数学知识梳理1.独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布

高考总复习.理科.数学

第十三章概率与统计

二项分布、超几何分布、第六节二项分布、超几何分布、正态分布

高考总复习.理科.数学

课前自主学案

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知识梳理1.独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=Cpkqn-k.其中k=0,1,…,n,q=1-p, 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

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ξ P

0 C0 n pq0 n

1 C 1p 1q n n1-

…

k C k p kq n n-

…

n Cn n

…k

…

p nq 0

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n,p),其中n、 p为参数，p叫成功概率. 令k=0得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为P(ξ =0)=Cp0(1-p)n =(1-p)n, 令k=n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ =n)=Cpn(1-p)0 =pn.

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3.超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “ X = k” 发生的概率为： P(X = k) =

k n- k CM·CN-M n CN ,k=0,1,2,…,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N, * M≤N,n,M,N∈N ,称分布列

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为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称离散型随机变量 X 服从超几何分布. 4.正态分布密度函数 (x-µ) 1 φµ,σ(x)= e- ,(σ>0,x∈(-∞,+∞)) 2σ2 2πσ2

其中 π 是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；µ 为正态分布的均值；σ 是正态分布的标准差.正态分布一般记为 N(µ,σ2).

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5.正态曲线 (x-µ) 1 函数 φµ,σ(x)= e- ,(x∈(-∞,+∞),实数 2σ2 2πσ2

µ 和 σ(σ>0)为参数),的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

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标准正态曲线：当 µ=0、σ=1 时，正态总体称为标准正 1 x2 态总体，其相应的函数表示式是 f(x)= e- ,(-∞<x< 2 2π +∞) 其相应的曲线称为标准正态曲线. 6.正态分布如果对于任何实数 a<b,随机变量 X 满足 P(a<X≤b) =bφµ,σ(x)dx,则称 X 的分布为正态分布，参数 µ 表示 a 随机变量 X 的均值，参数 σ 表示随机变量 X 的标准差，记作：X~N(µ,σ2).其中 N(0,1)称为标准正态分布.

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正态分布 N(µ,σ2))是由均值 µ 和标准差 σ 唯一决定的分布. 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位. 7.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个基本概率值) P(µ-σ<X≤µ+σ)=0.6826; P(µ-2σ<X≤µ+2σ

)=0.9544; P(µ-3σ<X≤µ+3σ)=0.9974.

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8.3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(µ,σ2)的随机变量X只取(µ-3σ,µ+3σ)之间的值，并简称之为3σ原则. 正态总体几乎总取值于区间(µ-3σ,µ+3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想.

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基础自测

1.若 X~B(10,0.8),则 P(X=8)=( A.C10×0.8 ×0.2 C.0.8 ×0.2答案：A8 2 8 8 2 8

)2 8

B.C10×0.8 ×0.2 D .0.8 ×0.22 8

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2.(2008 年福建卷)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的 4 概率为，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( 5 12 A. 125 16 B. 125 48 C. 125 96 D. 125 )

解析：概率为答案：C

4 2 1 48 C23 5 5 = . 125

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课堂互动探究

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超几何分布模型的概率计算一个盒子中装有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求ξ的分布列.

分析：这是一个超几何分布模型，其中 N=20, M=4, n Cm ·Cn -m M N M =3,利用 P(ξ=m)= 求解. Cn N-

解析：ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则3 2 C0·C16 28 C1·C16 8 4 4 P(ξ=0)= 3 = ;P(ξ=1)= 3 = ; C20 57 C20 19

高考总复习.理科.数学1 0 C2·C16 8 C3·C16 1 4 4 P(ξ=2)= 3 = ;P(ξ=3)= 3 = . C20 95 C20 285

所以 ξ 的分布列为： ξ P 0 28 57 1 8 19 2 8 95 3 1 285

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变式探究1.(2009年德州模拟)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等. (1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率； (2)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布.

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解析(1)法一：记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A, 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C2种， ∵从袋中的 62 1 1 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C3C2C2,

C2C1C1 3×2×2 4 3 2 2 P(A)= C2 = ∴ =5. 3×5 6 法二：记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 的事件 “ 记为 A, 取出的 2 个小球上的数字相同” 的事件记为 B,则事件 A 与事件 B 是对立事件.

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C1 3 1 3 ∵P(B)= 2= = , C6 15 5 4 ∴P(A)=1-P(B)= . 5 (2)由题意，ξ 所有可能的取值为：2,3,4,5,6. C2 1 C1C1 4 2 2 2 ξ=2 ξ=3 P(ξ 2)= 2= ,P(ξ 3)= 2 = , C6 15 C6 151 C2+C2C1 5 2 2 P(ξ=4)= = , 2 C6 15

C1C1 4 C2 1 2 ξ=5)= 2 2 2= ,P(ξ=6)= 2= . P( C6 15 C6 15

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故

随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P 2 1 15 3 4 15 4 5 15 5 4 15 6 1 15

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