计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出版社 课后答案(3)

本章重点：

插值多项式的定义，存在唯一性，拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，多项式插值的余项表示。

√√

1.利用函数y=在x1=100,x2=121处的值，计算co

后

n j=0

4插值法

m

115≈L2(115)=10×

误差分析

y (ξ)1

(x x1)(x x2)= ξ 3/2(x 100)(x 121),ξ∈(100,121).y(x) L2(x)=2!8

所以，

课

3.对于n次拉格朗日基本插值多项式，证明

证：令f(x)=xk,作f(x)的n次插值多项式，以x0,x1,···,xn为插值节点，则有

Ln(x)=

n j=0

kh

w.

插值余项为

j=0

ww

f(x)=Ln(x),

即

n j=0

k

xkjlj(x)=x.

13

ww

w.

khd

aw

.c

所以

om

n

f(n+1)(ξ)

(x xj)=0f(x) Ln(x)=

(n+1)!

da

lj(x)xkj,

注:要会写出两点的线性插值公式及余项表达式。估计误差时，不是去求实际误差y(115) L2(115),

而是应用已知的插值余项表达式去得到估计值。

答

案

11|(115 100)(115 121)|≤×15×6=0.01125

.8ξ3/28×1003/2

k

xkjlj(x)=x,k=0,1,···,n

115 121115 100

+11×=10.714286.

100 121121 100

网

5.给出函数表

co

1

7

m

xy

00

116

246

488

50

试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式。

注:写牛顿插值公式，首先就要计算出差商表，对角线上的数字就是牛顿插值公式的系数。解：牛顿插值多项式为

www.kh

daw.

6.已知f(x)=2x7+5x3+1，求差商f[20,21]，f[20,21,···,27]，f[20,21,···,27,28]。解：

f(20)=f(1)=8,f[20,21]=

f(21)=f(2)=297,

注:利用差商和导数的关系

解后两问比较方便。8.设f(x)=

1

,x0,x1,···,xn互异且不等于a，求f[x0,x1,···,xk],(k=1,2,···,n)，并写出f(x)的n次a x

牛顿插值多项式。解：

f(x0) f(x1)

=f[x0,x1]=

x0 x1

f[x1,x2]=

10

w.

kh

da

1

7

8

课

后

0f(8)(η)

f[2,2,···,2,2]===0,ξ∈(20

,28).

8!8!

答

2×7!f(7)(ξ)==2,ξ∈(20,27),f[2,2,···,2]=

7!7!

案

f(2) f(1)

=297 8=289,

2 1

f(k)(ξ)

f[x0,x1,···,xk]=

k!

同样可以计算得

ww

所以

14

ww

w.

khd

f[x0,x1] f[x1,x2]

f[x0,x1,x2]==

x0 x2

1

01

1

12x0 x2

=

1

.

(a x0)(a x1)(a x2)

aw

.c

1

,

(a x1)(a x2)

om

11

N4(x)=0+16(x 0)+7(x 0)(x 1)+( 5)(x 0)(x 1)(x 2)

+( 7)(x 0)(x 1)(x 2)(x 4)

7

=16x+7x(x 1) 5x(x 1)(x 2) x(x 1)(x

2)(x 4).

网

x0 x1

=

1

,

(a x0)(a x1)

猜想

codaw.

m

f[x0,x1,···,xk]=

1

k i=0

,k=1,2,···,n.

(a xi)

下面用数学归纳法证明。当k=1时，结论成立，假设结论对k=l成立，即有

f[x0,x1,···,xl]=

1

l i=0

,

f[x1,x2,···,xl,xl+1]=

1

l +1i=1

,

ww

w.kh

(a xi)(a xi)

则有

f[x0,x1,···,xl,xl+1]=

f[x0,x1,···,xl] f[x1,x2,···,xl,xl+1]

x0 x1

111=×[l l+1]x0 xl+1

(a xi)(a xi)

1

i=0

i=1

l +1i=0

=

(a xi)

即结论对l+1成立。f(x)的n次牛顿插值多项式为

n k=0

答

da

f[x0,x1,···,xn]

i=0

后

Nn(x)=

课

9.给定数据表

kh

x

0.125

0.250

f(x)

0.79618

0.77334

f0

t

注:解此题的关键是从f[x0],f[x0,x1],f[x0,x1,x2]的表达式猜想出f[x0,x1,···,xk]，然后用归纳法进行严格的证明，有了各阶差商的表达式，很容易写出牛顿插值多项式。

0.375

w.

0.74371

试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)。

ww

N0(x0+th)=f0+

4

+ 1)+ 1)(t 2)

f(0.1581)≈N5(0.1581)=N5(0.125+0.2648h)=0.790294822,f(0.636)≈N5(0.636)=N5(0.125+4.088h)=0.651804826.

15

ww

w.

khd

aw

+ f0t(t 1)(t 2)(t 3)+

5f0

t(t

1)(t 2)(t 3)(t 4).

.c

2f0

t(t 3f0

t(t

om

解：等距节点x0=0.125,h=0.125,xi=x0+ih,0≤i≤5.计算差分表，令x=x0+th,则牛顿插值多项式为

,

k 1 i=0k i=0

k 1

案

网

(x xi)=

n k=0

(x xi)

.

(a xi)

0.5000.70413

0.6250.65632

0.7500.60228

注:此题求等距节点的牛顿前插公式，只要正确计算出差分表即可。11.设f(x)=

1

定义在区间[ 1,1]上。将[ 1,1]作n等分，按等距节点求分段线性插值函数Ik(x)，

1+25x2

并求各相邻节点中点处Ik(x)的值，与f(x)相应的值进行比较，误差为多大？

1 ( 1)2

=,xk= 1+kh,0≤k≤n,nn

解：记h=

www.kh

daw.

Ik(x)=f(xk)Ik(

x∈[xk,xk+1],0≤k≤n 1,

xk+xk+1hh1

)=[f(xk)·+f(xk+1)·]/h=[f(xk)+f(xk+1)],0≤k≤n 1,2222xk+xk+1xk+xk+1xk+xk+11f() Ik()=f() [f(xk)+f(xk+1)]

2222

f (ξk)xk+xk+1xk+xk+1

=( xk)( xk+1)

222

对f(x)求导得

案

h2

= f(ξk),

8

分析可知

因而

w.

kh

0≤k≤n 1

max|f(

da

1≤x≤1

后课

答

50x

f(x)= ,

(1+25x)max|f (x)|=50,

xk+xk+125xk+xk+1

) Ik()|≤h2

.224

ww

16

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

50(75x2 1)

f(x)=,

(1+25x)x xk+1x xk

+f(xk+1)=[f(xk)(xk+1 x)+f(xk+1)(x xk)]/h,

xk xk+1xk+1 xk

co

m

网

1.设某实验数据如下：

xy

daw.

1.36

本章重点：

最小二乘原理，会求线性拟合函数及超定方程组的最小二乘解，重点是会正确写出正规方程组并求解。

co

1.49

5曲线拟合

m

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