计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出版社 课后答案(2)

kh

xk+1=xk

kxk

1

f (m)=mxm 1,f (x)=m(m 1)xm 2,

1a1 mf(xk)

,k=0,1,2,···=(1 )x+xk

f(xk)mmk

取x0=3,计算得

ww

22.98100

32.98100

6

ww

w.

kh

d

aw

2.98123

.c

om

4235.4 4

xk+1=xk+xk,k=0,1,2,···

55

da

√√

9.写出用牛顿迭代法求方程xm a=0的根ma>0），并计算54位有效数字）。分析在什么范围内取值x0，就可保证牛顿法收敛。

√

答：记f(x)=xm a,x =m计算得

案

答：如果迭代格式xk+1= (xk)=xk+c(x2k 3),k=0,1,2,···是局部收敛的，设迭代序列的极限值为x ，则有

x =x +c(x 2 3),

√√

x =或x = (x)=1+2cx.

√√1

当| (|<1,即 <c<0时，则迭代格式局部收敛，收敛于√

√1 当| ( |<1,即0<c<时，则迭代格式局部收敛，收敛于

2×1.5

| (1.5)|==0.4558,

33网

收敛性分析:m=1时，牛顿迭代序列为常序列a，显然收敛。

√f(ε)

m≥2时,对任意正数ε(0<εn),令M(ε)= ,则

www.kh

考虑区间[ε,M(ε)],验证牛顿法大范围收敛定理中的4个条件。

(2).当x∈[ε,M]时，f (x)=mxm 1>0.

f(ε)(3).当x∈[ε,M]时，f (x)=m(m 1)xm 2>0.(4).ε

=M,

f(M)f(M) f(x )f (ξ)M =M =M (M x ),ξ∈(x ,M)f(M)f(M)f(M)

M

综上，牛顿法大范围收敛的4个条件均满足，所以对任意x0∈[ε,M(ε)],牛顿法均收敛。

11.用割线法求方程x3 2x 5=0在x0=2附近的根，取x0=2,x1=2.2,计算到4位有效数字。

kh

答：记f(x)=x3 2x 5,则f(x)=(x2 2)x 5,割线法公式为

xk+1=xk

迭代5次，x ≈2.095

。

f(xk)

(xk xk 1)=xk

f(xk) f(xk 1)

f(xk)

f(xk) f(xk 1)kk 1

课

后

由ε的任意性，对任意x0∈(0,+∞)

，牛顿法均收敛。

da

7

答

案

f(M)

≥M (M x )=x >ε.f(M)

网

由f (x)是严格单调増函数，有0<f (ξ)<f (M),于是

w.

ww

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

,k=1,2,···

(1).f(ε)=εm a<0,f(M)Mm a>(x )m a≥a a=0,所以f(ε)·f(M)<0.

daw.

M(ε)=(1

co

√

因而5≈2.981。

m

√a11

)ε+ε1 m=(ε+···+ε+aε1 m)>m=x .mmm

3.用高斯消去法解下列线性方程组：1)

2x1 x2+3x3=14x1+2x2+5x3=4

x1+2x2=7

2)

=3 11x1 3x2 2x3

23x1+11x2+x3=0

x1+2x2+2x3= 1

ww

w.kh

daw.

本章重点：

用列主元高斯消去法解线性方程组，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解线性方程组并判断迭代格式的收敛性。

co

3线性方程组数值解法P81

m

注：用列主元高斯消去法,对于n 1步消元，每一步消元之前均需选主元素。答：1).解为x3= 6,x2= 1,x1=9.2).

回代得

4.用追赶法求解线性方程组：

w.

kh

课

与原方程组同解的三角方程组为

x3= 1.15544,x2=0.549222,x1=0.212435

.

da

8

后

2311 3 23 231110111

r,r+rr+1312 r2 r1 → 00 → 11 3 23 23111

0122 1122 1

231110 23111052

r+( r)32r3 r2 47475757 → → 0 1 1 052352230300 193 答

23x1+11x2+x3=0 5747

x2+x3= 12323 193x3=2235757

ww

ww

w.

kh

d

2M0+M1= 5.5200 59 M+2M+M2= 4.3144 10 1414 32M+M3= 3.26642M+12 55 34 M+M4= 2.42872M+ 23 77 M+2M= 2.115034

aw

.c

om

11

5257网

1 3547案

0 3 1

注：本题是严格对角占优的三对角线性方程组，每步消元只要消一个元素，按顺序高斯消去法即可，用追赶法求解，运算量小。答：

M4= 0.654531,M3= 0.806055,M2= 1.03314,M1= 1.46283,M0= 2.02859

.

www.kh

1x17910

8109 x2 = 1 1087 x3 1

1x4765

同解三角方程组为

khw.

回代得

9.用改进平方根法求解线性方程组：

da

5x1+7x2+

9x3+

2

x2 5

4x3 5 5x3 9

课

579101

6/5 2/5 4/5 3 1/5 → 7/5 1/2 5 17/2 1/2

103/551

答

案

答：对增广矩阵作三角分解：

579101 681091 → 710871 57651

579101

6/581091 → 7/510871

17651

后

x4=3,x3= 5,x2= 12,x1=20.

ww

ww

w.

kh

d

4x1 2x2 4x3=10 2x1+17x2+10x3=3

4x1+10x2+9x3= 7

aw

.c

om

5791016/5 2/5 4/5 3 1/57/5 1/287110651

579101

3 1/5 → 6/5 2/5 4/5 7/5 1/2 5 17/2 1/2

103/51/103/10

10x4=

1

3x4=1

5

171x4= 2213x4=1010

8.用LU紧凑格式分解法解解线性方程组

5 6 7 5

daw.

co

m

网

注：用改进平方根方法解线性方程组，系数矩阵对称，可由U的第k行元素直接得到L的第k列元素，计算量比通常的LU紧凑格式分解约减少一半。答：由改进平方根法分解

4 2 4104 2 410 217103 → 1/217103 4109 7 1109 7

4 2 4104 2 410 → 1/21688 → 1/21688

11/29 7 11/21 1

ww

w.kh

daw.

课

co

后

m

得同解方程组为

4x1 2x2 4x3=1016x2+8x3=8

x3= 1

回代得

x3= 1,x2=1,x1=2

.

答：||A||∞=max{1+1+0,2+2+3,5+4+1}=10,||A||1=max{1+2+5,1+2+4,0+3+1}=8,

1251103025 1

ATA= 124 22 3 = 2521 2 ,

w.

kh

0 31

12.设x=(1, 2,3)T,计算||x||∞,||x||1,||x||2.

1

答：x= 2 ,||x||∞=max{|1|,| 2|,|3|}=3,||x||1=|1|+| 2|+|3|=6,||x||2=

3

√

1+( 2)+3= 110

13.设A= 22 3 ,计算||A||∞,||A||1,||A||2.

541

da

54

1

10

答

由|λE ATA|=0，得λ3 61λ2+510λ 9=0.记

f(λ)=λ3 61λ2+510λ 9,

ww

ww

w.

khd

aw

则f (λ)=3λ2 122λ+510,f (λ)=0的根为λ1=4.7307,λ2=35.936.当λ∈(λ1,λ2) …… 此处隐藏：2505字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……