2019年北师大版高三数学(理)复习学案：学案54 直线与圆锥曲线的(2)

例1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．

解 由?????

y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6，

得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6， 即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，

Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48.

当Δ＝72k 2－48>0，即k >63或k <－63

时，直线和曲线有两个公共点； 当Δ＝72k 2－48＝0，即k ＝63或k ＝－63

时，直线和曲线有一个公共点； 当Δ＝72k 2－48<0，即－63<k <63

时，直线和曲线没有公共点． 变式迁移1 D [直线AB 的方程为y ＝4t

x －1(t ＝0时不合题意，舍去)，与抛物线方程x 2＝12y 联立得x 2－2t x ＋12＝0，由于直线AB 与抛物线C 没有公共点，所以Δ＝4t

2－2<0，解得t >2或t <－ 2.]

例2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．

解 (1)设点A 的坐标为(x 1，b )，点B 的坐标为(x 2，b )，由x 24

＋y 2＝1，解得x 1,2＝±21－b 2， 所以S ＝12

b |x 1－x 2|＝2b 1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1. 当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1. (2)由????? y ＝kx ＋b x 24

＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， Δ＝16(4k 2－b 2＋1)．①

|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·16(4k 2－b 2＋1)4k 2＋1

＝2.② 又因为O 到AB 的距离d ＝|b |1＋k 2＝2S |AB |

＝1， 所以b 2＝k 2＋1.③

将③代入②并整理，得4k 4－4k 2＋1＝0，

解得k 2＝12，b 2＝32

，代入①式检查，Δ>0. 故直线AB 的方程是：y ＝22x ＋62或y ＝22x －62或y ＝－22x ＋62或y ＝－22x －62. 变式迁移2 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b

2＝1 (a >b >0)， 则c ＝3，c a ＝32.∴a ＝2，b ＝1.

∴所求椭圆方程为x 24

＋y 2＝1. (2)由????? y ＝x ＋m ，x 24

＋y 2＝1，消去y 得关于x 的方程： 5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0，

则Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，解得m 2<5.(*)

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－85

m ， x 1x 2＝4(m 2－1)5

，y 1－y 2＝x 1－x 2， ∴|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2

＝ 2???

?????－85m 2－165(m 2－1)＝2， 解得m 2＝158，满足(*)，∴m ＝±304

. 例3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．

解 由?

????

y ＝kx ＋1x 2－y 2＝1 (x ≤－1) 得(k 2－1)x 2＋2kx ＋2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则??? Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0x 1＋x 2＝2k 1－k 2<0x 1x 2＝－21－k 2>0，∴1<k < 2. 设M (x 0，y 0

)，由????? x 0

＝x 1＋x 22＝k 1－k 2y 0＝y 1＋y 22＝11－k 2，

设l 与y 轴的交点为Q (0，b )，则由P (－2,0)，

M ????k 1－k 2，11－k 2，Q (0，b )三点共线得b ＝2－2k 2＋k ＋2

， 设f (k )＝－2k 2＋k ＋2，则f (k )在(1，2)上单调递减，

∴f (k )∈(－2＋2，1)，

∴b ∈(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．

变式迁移3 解 (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，

代入椭圆方程得x 2

2

＋(kx ＋2)2＝1， 整理得????12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①

直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于

Δ＝8k 2－4????12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22

. 即k 的取值范围为????－∞，－22∪????22，＋∞.

(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，

由方程①，x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2

.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2 2.③ 而A (2，0)，B (0,1)，AB →＝(－2，1)．

所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，

将②③代入上式，解得k ＝22

. 由(1)知k <－22或k >22

，故没有符合题意的常数k . 课后练习区

1．A 2.C 3.A 4.D 5.C

6．[1,5) 7.5 8.2

9．解 设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，

由?

???? y ＝－x 2＋3，y ＝x ＋b ，消去y 得x 2＋x ＋b －3＝0，(3分) ∴x 1＋x 2＝－1.

于是AB 的中点M (－12，－12

＋b )， 且Δ＝1－4(b －3)>0，即b <134

.(6分) 又M (－12，－12

＋b )在直线x ＋y ＝0上，∴b ＝1符合．(8分) ∴x 2＋x －2＝0.由弦长公式可得

|AB |＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝3 2.(12分)

10．解 (1)由e ＝c a ＝32

，得3a 2＝4c 2. 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .

由题意可知12

×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组????? a ＝2b ，ab ＝2，得?

???? a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24

＋y 2＝1.(4分) (2)由(1)可知A (－2,0)，且直线l 的斜率必存在．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．

于是A ，B 两点的坐标满足方程组?????

y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1. 由方程组消去y 并整理，得

(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0.

由根与系数的关系，得－2x 1＝16k 2－41＋4k 2

， 所以x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2

. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2

)．(6分) 以下分两种情况讨论：

①当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－

y 0)，QB →＝(2，－y 0)．

由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.(8分)

②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为

y －2k 1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 2

1＋4k 2

)． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2

. 由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)，

QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)

＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2(4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2

) ＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2

＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147

. 所以y 0＝±2145

.(11分) 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145

.(12分) 11．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b

2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15

，(3分) 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305

.(6分) (2)联立?????

x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则??? x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2 …… 此处隐藏：2333字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……