2019年北师大版高三数学(理)复习学案：学案54 直线与圆锥曲线的

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2019.5

学案54直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．

自主梳理

1．直线与椭圆的位置关系的判定方法

(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法

将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．

(3)直线与抛物线位置关系的判定方法

将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.

①当a≠0，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．

2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程

(1)AB是椭圆x2

a2＋y2

b2＝1 (a>b>0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则k AB＝________，

k AB·k OM＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：

①将端点坐标代入方程：x21

a2＋y21

b2＝1，

x22

a2＋

y22

b2＝1.

②两等式对应相减：x21

a2－x22

a2＋y21

b2－

y22

b2＝0.

③分解因式整理：k AB＝y1－y2

x1－x2

＝－

b2(x1＋x2)

a2(y1＋y2)

＝－

b2x0

a2y0.

(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2

a2－y2

b2＝1的弦，中点M(x0，y0)，则k AB

＝__________________.已知抛物线y2＝2px(p>0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则k AB＝____________.

3．弦长公式

直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则|AB|＝1＋k2|x1－x2|

＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2

或|AB|＝1＋1

k2|y1－y2|＝1＋1

k2·(y1＋y2)

2－4y

1

y2.

自我检测

1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()

A．4 B．3 3 C．4 3 D．8

2．(20xx·中山调研)与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()

A ．(1,0)

B.????116，0 C ．(－1,0)

D.????0，－116 3．(20xx·许昌模拟)已知曲线x 2a ＋y 2b

＝1和直线ax ＋by ＋1＝0 (a 、b 为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是( )

4．(20xx·杭州模拟)过点?

???0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )

A ．－12

B ．－14

C ．－4

D ．无法确定

探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系

例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

变式迁移1 已知抛物线C 的方程为x 2＝12

y ，过A (0，－1)，B (t,3)两点的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B.????－∞，－22∪????22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

探究点二 圆锥曲线中的弦长问题

例2 如图所示，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A 、B 两点，

记△AOB 的面积为S .

(1)求在k ＝0,0<b <1的条件下，S 的最大值；

(2)当|AB |＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．

变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，离心率e ＝32

. (1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，若l 与椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．

探究点三 求参数的范围问题

例3 (20xx·开封模拟)直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P (－2,0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．

变式迁移3 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 2

2＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .

(1)求k 的取值范围；

(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP

→＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

函数思想的应用 例 (12分)已知椭圆C 的方程为x 2

a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)，双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的两条渐近线为l 1，l 2，

过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点

由上至下依次为A ，B .

(1)当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率；

(2)求|F A ||AP |

的最大值． 【答题模板】

解 (1)双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，两渐近线夹角为60°，又b a

<1，∴∠POx ＝30°， ∴b a ＝tan 30°＝33

，∴a ＝3b .又a 2＋b 2＝22， ∴3b 2＋b 2＝4，[2分]

∴b 2＝1，a 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 23

＋y 2＝1， ∴离心率e ＝a 2－b 2a ＝63

.[4分] (2)由已知，l ：y ＝a b (x －c )与y ＝b a x 联立， 解方程组得P ????a 2c ，ab c .[6分]

设|F A ||AP |

＝λ，则F A →＝λAP →，∵F (c,0)，设A (x 0，y 0)，则(x 0－c ，y 0)＝λ????a 2c －x 0，ab c －y 0， ∴x 0＝c ＋λ·a 2c 1＋λ，y 0＝λ·ab c 1＋λ.即A ? ??

???c ＋λ·a 2c 1＋λ，λ·ab c 1＋λ.[8分] 将A 点坐标代入椭圆方程，得(c 2＋λa 2)2＋λ2a 4＝(1＋λ)2a 2c 2，

等式两边同除以a 4，(e 2＋λ)2＋λ2＝e 2(1＋λ)2，e ∈(0,1)，[10分]

∴λ2＝e 4－e 2e 2－2

＝－????(2－e 2)＋22－e 2＋3 ≤－2 (2－e 2)·22－e 2＋3＝3－22＝(2－1)2， ∴当2－e 2＝2，即e 2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|F A ||AP |

的最大值为2－1.[12分] 【突破思维障碍】

最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．

【易错点剖析】

不能把|F A ||AP |转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e 4－e 2e 2－2不会求最值或忽视

e 2－2<0这个隐含条件．

件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(20xx·菏泽调研)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

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