点集拓扑学期末考试练习题(含答案)(3)

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X Y, g:Y Z都是连续映射，试说明g f:X Z也是连续映射.

答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y Z是一个连续映射，从而g 1(W)是Y的一个开集，由f:X Y是连续映射，故f 1(g 1(W))是X的一开集，因此 (g f) 1(W) f 1(g 1(W))是X的开集，所以g f:X Z是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，A X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A 是一个开集. 答案：对于 x A ,则x A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U (A {x}) ,因此U A ，即U A ,所以对任何x A ,A 是x的一个邻域，这说明A 是一个开集.

4、设X是一个拓扑空间，A X.试说明：若A的补集A 是一个开集，则A是一个闭集. 答案：设x A,则x A ,由于A 是一个开集，所以A 是x的一个邻域，且满足A A ,因此x ,从而A ,即有 A，这说明A是一个闭集.

5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y x,y ( ,1)或者x,y [1,2)或者x,y [2, )

设在这个等价关系下得到的商集Y {[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.

复习用

答案：T { ,Y,{[0]},{[0],[1]}}

6、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y x,y ( ,1]或者x,y (1,2]或者x,y (2, )

设在这个等价关系下得到的商集Y {[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T { ,Y,{[3]},{[2],[3]}}

7、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y x,y ( ,1)或者x,y [1,2)或者x,y [2, )

设在这个等价关系下得到的商集Y {[ 1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T { ,Y,{[ 1]},{[ 1],[1]}}

8、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y x,y ( ,1)或者x,y [1,2)或者x,y [2, )

设在这个等价关系下得到的商集Y {[ 2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T { ,Y,{[ 2]},{[ 2],[1]}}

9、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y x,y ( ,1]或者x,y (1,2]或者x,y (2, )

设在这个等价关系下得到的商集Y {[0],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T { ,Y,{[3]},{[2],[3]}}

10、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y x,y ( ,1]或者x,y (1,2]或者x,y (2, )

设在这个等价关系下得到的商集Y {[0],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T { ,Y,{[4]},{[2],[4]}}

11、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y

x,y ( ,1]或者x,y (1,2]或者x,y (2, )

复习用

设在这个等价关系下得到的商集Y {[ 1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T { ,Y,{[4]},{[2],[4]}}

六、证明题（每题8分）

1、设f:X Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X) A B …………………………………………… 3分

于是f 1(A),f 1(B)是X的非空子集，并且：

(f 1(A) f 1(B)) (f 1(B) f 1(A))

(f 1(A) f 1()) (f 1(B) f 1())

f 1((A ) ( B))

所以f 1(A),f 1(B)

1是 1X的非 1空隔离子集 此外，f 1( A)f( B) f(A f(X)是Y的一不连通，矛盾.从而)B，这说明(f X(f)X)X

个连通子集. ………………………… 8分

2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y A B,则或者Y A,或者Y B.

证明：因为A,B是X的开集，从而A Y,B Y是子空间Y的开集. 又因Y A B中，故Y (A Y) (B Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A Y,B Y中必有一个是空集. 若B Y ,则Y A;若A Y ,则Y B………………… 8分

3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y A B,则或者Y A,或者Y B.

证明：因为A,B是X的闭集，从而A Y,B Y是子空间Y的闭集. 又因Y A B中，故Y (A Y) (B Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A Y,B Y中必有一个是空集. 若B Y ,则Y A;若A Y ,则Y B………………… 8分

4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足Y Z ，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z A B.因此

复习用

Y A B ………………………………… 3分

由于Y是连通的，所以Y A或者Y B,如果Y A，由于Z ，所以Z B B ，因此 B Z B ,同理可证如果Y B，则A ,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分

5、设{Y } 是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果 Y ,则 Y 是X的一个连通子集.

证明：若 Y 是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得 Y A B………………………………………… 4分

任意选取x Y ,不失一般性，设x A,对于每一个 ，由于Y 连通，从而 Y A及B ,矛盾，

所以 Y 是连通的. ………………………………………… 8分

6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A B ,则A B.

证明：若B X,则结论显然成立.

下设B X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分

由于A B 及A连通，所以A B A，故A B.………… 8分

7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界 (A) .

证明：若 (A) ,由于 (A) A A ,从而

A A (A A ) (A A ) (A A ) (A A ),

故A ,A 是X的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A是X的非空真子集,所以A和A 均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以 (A) . ……………………………………………… 8分