概率论与数理统计公式整理(超全免费版)(3)

E[G ( X , Y )] =

E[G ( X , Y )] =

G( x , yi i j

j

) pij

- -

G( x, y) f ( x, y)dxdy

方差

D( X ) [ xi E ( X )] pi 2 i

D( X ) [ x E ( X )]2 f X ( x)dx

D(Y ) [ x j E(Y )]2 p jj

D(Y ) [ y E (Y )]2 f Y ( y)dy

协方差

对于随机变量 X 与 Y, 称它们的二阶混合中心矩 1 1 为 X 与 Y 的协方 差或相关矩，记为 XY 或 cov( X , Y ) ,即

XY 11 E[( X E( X ))(Y E(Y ))].与记号 XY 相对应， 与 Y 的方差 D X (X) D 与 (Y) 也可分别记为 XX 与 YY 。

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第五章 大数定律和中心极限定理

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概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

(1)大数定律

X

切比雪 夫大数 定律

设随机变量 X1,X2,

相互独立，均具有有限方差，且被同一 常数 C 所界：D(Xi)<C(i=1,2, ),则对于任意的正数ε ,有

1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1. n n n i 1 i 1 特殊情形：若 X1,X2, 具有相同的数学期望 E(XI)=μ , 则上式成为

1 n lim P X i 1. n n i 1 伯努利 大数定 律 设μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε ,有

lim P p 1. n n 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

n

lim P p 0. n

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大 数定律 设 X1,X2, ,Xn, 是相互独立同分布的随机变量序列，且 E (Xn)=μ ,则对于任意的正数ε 有

1 n lim P X i 1. n n i 1 (2)中心极限定 理 列维- 林德伯 格定理 设随机变量 X1,X2, 相互独立，服从同一分布，且具有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ：

X N ( ,

2n

)

E ( X k ) , D( X k ) 2 0(k 1,2, ) ,则随机变量

Yn

Xk 1

n

k

n

n

的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x,有

n X k n 1 lim Fn ( x) lim P k 1 x n n n 2 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

x

e

t2 2

dt .

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