概率论与数理统计公式整理(超全免费版)(2)

( X x, Y y) ( X x Y y)设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数

F ( x, y ) P{ X x, Y y}称为二

维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函 数。 分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件

{( 1 , 2 ) | X ( 1 ) x, Y ( 2 ) y} 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质： (1) 0 F ( x, y ) 1; (2)F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即 当 x2>x1 时，有 F(x2,y)≥F(x1,y);当 y2>y1 时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); (3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即

F ( x, y) F ( x 0, y ), F ( x, y) F ( x, y 0);(4) F ( , ) F ( , y ) F ( x, ) 0, F ( , ) 1. (5)对于 x1 x2,y1 y 2,

F ( x2,y 2 ) F ( x2,y1 ) F ( x1,y 2 ) F ( x1,y1 ) 0 .(4)离散 型与连续 型的关系

P( X x,Y y) P( x X x dx,y Y y dy ) f ( x,y)dxdy

1

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(5)边缘 分布

离散型

X 的边缘分布为

Pi P( X xi ) pij (i, j 1,2, ) ;j

Y 的边缘分布为

P j P(Y y j ) pij (i, j 1,2, ) 。i

连续型

X 的边缘分布密度为

f X ( x) f Y ( y) (6)条件 分布 离散型

f ( x, y ) dy;

Y 的边缘分布密度为

f ( x, y )dx.

在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为

P (Y y j | X x i )

p ij pi

;

在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为

P( X x i | Y y j ) 连续型

p ij p j

,

在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为

f ( x | y)

f ( x, y) ; f Y ( y)

在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为

f ( y | x) (7)独立 性 一般型 离散型

f ( x, y) f X ( x)

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

p ij p i p j有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形

连续型

二维正态分 布

f ( x, y )

1 2 1 2 1 2

e

x 2 2 ( x )( y ) y 2 1 1 1 2 2 1 2 2 (1 2 ) 1 2

,

=0

1

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随机变量的 函数

若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则： h(X1,X2, Xm)和 g(Xm+1, Xn)相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则：h(X)和 g(Y)独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。

(8)二维 均匀分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

1 S D f ( x, y ) 0,

( x, y ) D 其他

其中 SD 为区域 D 的面积，则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X,Y)~ U(D) 。 例如图 3.1、图 3.2

和图 3.3。

y1

D1 O图 3.1 1

x

y1 D2

O

1

2 x

图 3.2

y dD3

c O a图 3.3

b

x

1

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(9)二维 正态分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

f ( x, y )

1 2 1 2 1 2

e

x 2 2 ( x )( y ) y 1 1 2 2 1 2 2 (1 ) 1 2 12

2

,

其中 1 , 2, 1 0, 2 0, | | 1 是 5 个参数，则称(X,Y)服从二维正态分 布， 记为(X,Y)~N( 1 , 2, 1 , 2 , ).2 2

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布， 即 X~N( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2, 2 ).2 2

但是若 X~N( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2, 2 ) ,(X,Y)未必是二维正态分布。2 2

(10)函数 分布

Z=X+Y

根据定义计算： FZ ( z) P(Z z) P( X Y z)

对于连续型，fZ(z)=

f ( x, z x)dx

2 2 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 1 2 , 1 2 ) 。

n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Ci i , 2 Ci2 i2i i

Z=max,min( X1,X2, Xn)

若 X1 , X 2 X n 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为

Fx1 ( x),Fx2 ( x) Fxn ( x) ,则 Z=max,min(X1,X2, Xn)的分布函数为：

Fmax ( x) Fx1 ( x) Fx2 ( x) Fxn ( x) Fmin ( x) 1 [1 Fx1 ( x)] [1 Fx2 ( x)] [1 Fxn ( x)]

1

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2 分布

设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且服从标准正态分 布，可以证明它们的平方和

W X i2i 1

n

的分布密度为n u 1 1 2 u e 2 n n f (u ) 2 2 2 0,

u 0, u 0.

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 2 分布， 记为 W~ 2 (n) , 其中 1 n x 2 e x dx. 2 0 n

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。

2 分布满足可加性：设Yi 2 ( n i ),则

Z Yi ~ 2 (n1 n2 nk ).i 1

k

1

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第四章 随机变量的数字特征

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一 随 变 的 字 征

维 机 量 数 特

期望 期望就是平均值

设 X 是离散型随机变量， 其分布 律 为 P( X xk ) = pk , k=1,2, ,n,

设 X 是连续型随机变量， 其概率密 度为 f(x),

E( X )

E ( X ) xk pkk 1

n

xf ( x)dx

(要求绝对收敛)

(要求绝对收敛) 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)n

E (Y ) g ( x k ) p kk 1

E (Y )

g ( x) f ( x)dx

方差 2 D(X)=E[X-E(X)] , 标准差

D( X ) [ xk E ( X )] pk2 k

D( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx

( X ) D( X ) ,矩 ①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=k

①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点 矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=k

xi

k i

pi ,