概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

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第1章 随机事件及其概率

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概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配

率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率： i 1

A Ai i 1

i

A B A B, A B A B

(7)概率 的公理化 定义

设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 , A2 , 有

P Ai P( Ai ) i 1 i 1常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1° 1 , 2 n , 2° P( 1 ) P( 2 ) P( n )

(8)古典 概型

设任一事件 A ,它是由 1 , 2 m 组成的，则有

1 。 n

P(A)= 1 ) ( 2 ) ( m ) = P( 1 ) P( 2 ) P( m ) (

m A所包含的基本事件数 基本事件总数 n

(9)几何 概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,

P ( A) (10)加法 公式 (11)减法 公式

L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 L ( )

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)=0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0,则称

P ( AB ) 为事件 A 发生条件下，事 P ( A) (12)条件 P ( AB ) 概率 件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) 。 P ( A)1

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概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

(13)乘法 公式

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB ) P( A) P( B / A) 更一般地，对事件 A1,A2, An,若 P(A1A2 An-1)>0,则有

P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) P ( An | A1 A2 An 1) 。①两个事件的独立性 设事件 A 、B 满足 P( AB ) P( A) P( B) , 则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ,则有

P( B | A)

P( AB ) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A)

(14)独立 性

若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独 立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2, , Bn 满足 1° B1, B 2, , Bn 两两互不相容， P( Bi ) 0(i 1,2, , n) ,

(15)全概 公式

2° 则有

A Bii 1

n

,

P( A) P( B1) P( A | B1) P( B 2) P( A |

B 2) P( Bn) P( A | Bn) 。设事件 B1 , B 2 , , Bn 及 A 满足 1° B1 , B 2 , , Bn 两两互不相容， P (Bi ) >0, i 1,2, , n , 2° 则 (16)贝叶 斯公式n

A Bii 1

, P( A) 0 , ,i=1,2, n。j

P( Bi / A)

P( Bi ) P( A / Bi )

P( B ) P( A / B )j 1 j

n

此公式即为贝叶斯公式。 ( ,通常叫先验概率。 P(Bi / A) , i 1 ,2 , , ( P( Bi ) , i 1 ,2 , ,n ) n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了 (17)伯努 利概型1

“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；

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第二章 随机变量及其分布

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概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

(4)分布 函数

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数

F ( x) P( X x)称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a X b) F (b) F (a)

可以得到 X 落入区间 ( a , b ] 的概率。分布

函数 F (x ) 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°

0 F ( x) 1,

x ;

F (x ) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x 2) ;

F ( ) lim F ( x) 0 ,x

F ( ) lim F( x) 1 ;x

F ( x 0) F ( x) ,即 F (x ) 是右连续的； P( X x) F ( x) F ( x 0) 。xk x

对于离散型随机变量， F ( x )

px

k

;

对于连续型随机变量， F ( x) (5)八大 分布 0-1 分布 二项分布

f ( x)dx

。

P(X=1)=p, P(X=0)=q

在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ,则 X 可能取值为 0,1,2, , n 。k P ( X k ) Pn(k ) C n p k q n k

,

其

中

q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, , n ,则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为

X ~ B (n, p ) 。当 n 1 时， P( X k ) p k q1 k , k 0.1 ,这就是(0-1)分 布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。

1

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泊松分布

设随机变量 X 的分布律为

P( X k )

kk!

e , 0 , k 0,1,2 ,

则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ ( ) 或 者 P( )。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ ,n→∞) 。 超几何分布

P( X k )

k n C M C N kM k 0,1,2 , l , n l min( M , n) CN

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布

P( X k ) q k 1 p, k 1,2,3, ,其中 p≥0,q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 设随机变量 X 的值只落在[a,b]内，其密度函数 f (x ) 在[a,b] 上为常数

均匀分布

1 ,即 b aa≤x≤b 其他，

1 , f ( x) b a 0,

则称随机变量 X 在[a,b]上服从均匀分布，记为 X~U(a,b)。 分布函数为 0, x<a,

x a , b a

F ( x)

x

f ( x )dx 1,

a≤x≤b x>b。

当 a≤x1<x2≤b 时，X …… 此处隐藏：3081字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……