拉普拉斯方程的格林函数法-4(定稿)(2)

上式移项后， 上式移项后，称

r r r ) u = grad u 为 u 的梯度。 的梯度。 其中 u = ( i +j +k y x z v dS ∫∫∫ u v dV n ( 4 .7 )

∫∫∫ u v d V = ∫∫2 Γ

u

为第一 Green 公式

这是一份完整的数学物理方程的课件,网上可能有其他的版本,但是应该没有我的这份全,真心实意的是想和大家分享,一起进步。

u 2v d V = ∫∫ u v dS ∫∫∫ u v dV ∫∫∫ Γ

n

( 4 .7 )

的位置， 交换 u 与 v 的位置，则有

为第一 Green 公式

∫∫∫

v 2 u d V = ∫∫ vΓ

u dS ∫∫∫ v u dV n

(4.8)

将(4.7)与(4.8)式相减，得到 ) )式相减，

( u 2 v v 2 u ) d V = ∫∫ ( u v v u ) dS ∫∫∫ Γ

n

n

( 4 .9 )

为第二 Green 公式

利用格林公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。 利用格林公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。

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调和函数：在某区域上 具有连续二阶偏导数的 函数 u( x , y ), 调和函数：当它满足拉普拉斯方程

2u 2u + =0 x2 y2调和函数” 时，称其为在此区域上 的“调和函数”。这个 概念可推广至高维空间 。

调和函数在流体力学、 弹性力学、 面均有应用。 调和函数在流体力学、 弹性力学、电磁学等方 面均有应用。

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调和函数的一些基本性质

z KεM0M

(1)调和函数的积分表达式 ) 所谓调和函数的积分表达式，就是利用调和函数与其在 所谓调和函数的积分表达式，

Γ

上的法向导数， 的积分， 区域边界 Γ 上的法向导数，沿 Γ 的积分，来取代调和函数 在

Γε

内部任意一点的函数值。 内部任意一点的函数值。 内某一国定点， 设 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是 内某一国定点，现在我们就来求调

0x

yv=

和函数在这一点的值。为此， 和函数在这一点的值。为此，构造一个函数

1 1 1 = = r MM 0 ( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z 0 ) 2

(4.10)

函数

通常称之为三维拉普拉斯方程的基本解 三维拉普拉斯方程的基本解。 色，通常称之为三维拉普拉斯方程的基本解。 考虑到 v =

1 点之外，处处满足拉普拉斯方程。 ,除了 M 0 点之外，处处满足拉普拉斯方程。它在研究三维拉氏方程中扮演着重要的角 r

1 在 内有奇异点 M 0 ,我们作一个以 M 0 为中心，以充分小的正数 ε 为半 为中心， r 径的球面 Γε ,在 内挖掉 Γε 所包围的球域 K ε ,得到区域 K ε 。这样， 这样，在 K ε 直至边界 Γ 上，v =

1 就是解析(任意次连续可微)的了。 就是解析(任意次连续可微)的了。 r

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被挖去

小球后剩余部分， 区域之中，在此区域应用第二格林公式， 被挖去小球后剩余部分，全部落在 区域之中，在此区域应用第二格林公式，有

z KεM0

( u 2 v v 2 u ) d V = ∫∫ ( u v v u ) dS ∫∫∫ Γ

n

n

(4.9)

Γ

在公式( ) 被认为是调和函数了， 在公式(4.9)中， u 被认为是调和函数了，同时假定它在 + Γ 上有一阶连续偏导数， 上有一阶连续偏导数，再取 v = 中的 ,从而得到1 r

,并以 K ε 代替上式

Γε

0x

y

Kε

2 ∫∫∫ (u

1 1 2 u ) d V = ∫∫ r r Γ + Γε

1 ( ) 1 u (u r ) dS n r n

(4.11)

内是解析区， 因为在 K ε 内是解析区， 2 u = 0 , 2

1 依据解析函数的性质)。 )。而在球面 = 0 (依据解析函数的性质)。而在球面 Γε 上 r内球面法方向与半径反向 复变函数对区域的定义) (复变函数对区域的定义)

1 1 ( ) ( ) 1 1 r = r = = 2 r2 ε n r

(4.11)变成 )Γ + Γε

∫∫

1 ( ) 1 u u r dS ∫∫ dS = 0 r n n Γ + Γε

先考虑： 先考虑：沿内曲面 Γε 的积分值 .u 4π ε 2 = 4π u

因此对第一项有

∫∫Γε

1 ( ) 1 u r dS = 2 ε n

∫∫Γε

u dS =

1

ε

2

上的平均值。 其中 u 是函数 u 在小球面 Γε 上的平均值。

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z KεM0M

Γ + Γε

∫∫

1 ( ) 1 u u r dS ∫∫ dS = 0 r n n Γ + Γε

Γ

同理， 同理，对第二项有

Γε

∫∫Γε

1 u 1 u u dS = ∫∫ dS = 4π ε ( ) r n ε Γε n n

0x ( 1 rMM 0 n ) dS ∫∫Γ

y

其中 (

u u ) 是函数 上的平均值。 在小球面 Γε 上的平均值。 n n

将上面两项结果代入 (4.11) 式，可得u 1 u u dS + [ 4π u 4π ε ( ) ]= 0 rMM 0 n n

∫∫Γ

为连续函数， 令 ε → 0 ,因为 u( x , y , z ) 为连续函数，lim u = u( M 0 ) ;ε →0

这就是调和函数的基本积分表达 式，它在区域 内任何一点 M 0 处的值， 处的值，可以用其在边界 Γ上 的函数 u 和法向导数 的积 n 分表示出来， 分表示出来，极具广泛的应用价 是研究调和函数性质的基础。 值，是研究调和函数性质的基础。 u

u u u( x , y , z ) 一阶连续可微， 有界， ε ( ) = 0 , 则 一阶连续可微， 有界， lim ε → 0 n nu( M 0 ) = 1 4π

[u( M ) ( 1 ∫∫ n rMMΓ

) 0

1 u( M ) rMM 0 n(4.12)

]dS

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(2)牛曼内问题有解的必要条件 )

( u 2 v v 2 u ) d V = ∫∫ ( u v v u ) dS ∫∫∫ Γ

n

n

(4.9)

z

设 u 是以 Γ 为边界的区域 内的调和函数，在 + Γ 上有 内的调和函数， 一阶连续偏导数，则在公式( ) 一阶连续偏导数，则在公式(4.9)中取 v ≡ 1 ,就得到

Γ

∫∫Γ

u dS = 0 n

(4.13)

0x

y

由此， 由此，Neumann 内问题

2u 2u 2u + =0 2+ x y2 z2 u = f ( x, y, z ) n Γ

( x, y, z ) ∈

有解的必要条件为函数 f 满足

∫∫Γ

f dS = 0

(4.14)

立得( 问题有解的必要条件( 成立。 证明 在第二 Green 公式中令 v = 1 , 立得(4.13)式，由此 Neumann 问题有解的必要条件(4.14)成立。

事实上，这个条件也是Neumann 问题有解的充分条件。证明见 问题有解的充分条件。证明见A.H.吉洪诺夫；A.A.萨马尔 吉洪诺夫； 事实上，这个条件也是 吉洪诺夫 …… 此处隐藏：3102字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……